логин
пароль
 
Забыли пароль?

Квадратное уравнение

Ключевые слова: уравнение, квадратное уравнение, квадратичный трехчлен, дискриминант, корни уравнения, разложение на линейные множители, неполное квадратное уравнение, теорема Виета, приведенное и неприведенное квадратное уравнение,

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c - действительные числа, причем $$a \ne 0$$,
называют квадратным уравнением.

Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным;
если $$a \ne 1$$, - то неприведенным.
Числа a, b, c носят следующие названия
a - первый коэффициент,
b - второй коэффициент,
c - свободный член.

Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;
если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Пример 1: Решить уравнение 2x2 - 5x = 0. Имеем x(2x - 5) = 0. Значит либо x = 0, либо 2x - 5 = 0, то есть x = 2,5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5
Пример 2: Решить уравнение 3x2 - 27 = 0. Имеем 3x2 = 27. Следовательно корни данного уравнения - 3 и -3.

Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть x1 + x2 = -p , x1 x2 = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Биквадратным называется уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0, где $$a \ne 0$$.

Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x2 = y,
придем к квадратному уравнению ay2 + by + c = 0.

Пример 3: Решить уравнение x4 + 4x2 - 21 = 0.
Пусть x2 = y, получим квадратное уравнение y2+ 4y - 21 = 0, откуда находим y1 = -7, y2 = 3.
Теперь задача сводится к решению уравнений x2 = -7, x2 = 3.
Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим $$x_{1}=-\sqrt{3}$$ и $$x_{2}=\sqrt{3}$$ которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.

Итак, коротко о квадратном уравнении:

См. также:
Равносильные уравнения, Теорема Виета, Линейное уравнение, Квадратная функция