логин
пароль
 
Забыли пароль?

Теорема Виета

Ключевые слова: квадратное уравнение, корни, приведенное уравнение, теорема Виета

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x2 + px + q = 0 равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q, т. е. x1 + x2 = – p и x1 x2 = q

  • Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1 x2. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x2x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, а произведение должно равняться –1.
  • Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x2 – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2 * 3, 2 + 3 = 5. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями.

Обратная Теорема Виета. Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = – p и x1 x2 = q, то они удовлетворяют квадратному уравнению x2 + px + q = 0.

Теорема Виета применяется для подбора корней квадратных уравнений. Можно расширить рамки использования этой теоремы, например, для решения систем уравнений. Это сокращает время и упрощает решение системы.

Рассмотрим систему уравнений $$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 5, \\ x \cdot y = 6. \end{array} \right.$$ Если допустить, что x и y – корни некоторого приведенного квадратного уравнения, сумма корней которого равна 5, а их произведение равно 6, то получим совокупность двух систем $$\left\{ \begin{array}{l} x = 3, \\ y = 2. \end{array} \right.$$ и $$\left\{ \begin{array}{l} x = 2, \\ y = 3. \end{array} \right.$$.

Соотношения между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0.

  • $$x^{2}_{1} + x^{2}_{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1} \cdot x_{2} \Leftrightarrow x^{2}_{1} + x^{2}_{2} = p^{2} -2q$$;
  • $$x^{3}_{1} + x^{3}_{2} = (x_{1} + x_{2})((x_{1} + x_{2})^{2} - 3x_{1} \cdot x_{2})\Leftrightarrow x^{3}_{1} + x^{3}_{2} = -p(p^{2} - 3q)$$

См. также:
Квадратное уравнение