егэ по математике

Теорема Виета

Ключевые слова: квадратное уравнение, корни, приведенное уравнение, теорема Виета

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x² + px + q = 0 равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q, т. е. x₁ + x₂ = – p и x₁ x₂ = q

Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x₁ + x₂ и x₁ x₂. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x² – x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, а произведение должно равняться –1.
Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x² – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2 * 3, 2 + 3 = 5. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями.

Обратная Теорема Виета. Если числа x₁ и x₂ удовлетворяют соотношениям x₁ + x₂ = – p и x₁ x₂ = q, то они удовлетворяют квадратному уравнению x² + px + q = 0.

Теорема Виета применяется для подбора корней квадратных уравнений. Можно расширить рамки использования этой теоремы, например, для решения систем уравнений. Это сокращает время и упрощает решение системы.

Рассмотрим систему уравнений $$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 5, \\ x \cdot y = 6. \end{array} \right.$$ Если допустить, что x и y – корни некоторого приведенного квадратного уравнения, сумма корней которого равна 5, а их произведение равно 6, то получим совокупность двух систем $$\left\{ \begin{array}{l} x = 3, \\ y = 2. \end{array} \right.$$ и $$\left\{ \begin{array}{l} x = 2, \\ y = 3. \end{array} \right.$$.

См. также:
Квадратное уравнение