Метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств

Рассмотрим дробно-рациональное неравенство вида $$ \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \vee 0 $$, где символ $$\vee$$ можно заменить одним из знаков сравнения: $$< ,\;\quad > ,\;\quad \le ,\;\quad \ge $$ и $$f\left( x \right)$$, $$g\left( x \right)$$ - рациональные выражения. Областью определения дробно-рационального выражения вида $$ \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$$ является $$D\left( {\frac{f}{g}} \right):\;g\left( x \right) \ne 0$$.

Заменим каждое дробно-рациональное неравенство вида $$ \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \vee 0 $$, соответственно равносильным неравенством вида $$ f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) \vee 0 $$:

1. $$ \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} > 0 \Leftrightarrow f(x) \cdot \le g(x) > 0 $$

2. $$ \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} < 0 \Leftrightarrow f(x) \cdot g(x) < 0 $$

3. $$ \frac{{f(x)}}{{g(x)}} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) \ge 0; \\ g\left( x \right) \ne 0. \\ \end{array} \right. $$

4. $$\frac{{f(x)}}{{g(x)}} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) \le 0; \\ g\left( x \right) \ne 0. \\ \end{array} \right. $$

Таким образом, решение дробно-рациональных неравенств можно свести к решению рациональных неравенств методом интервалов.

2017-01-14 08:54:50