Обобщенный метод интервалов решения неравенств: неравенства третьего типа

Опишем метод интервалов для решения неравенств, не являющихся дробно-рациональными и назовем его обобщенный метод интервалов (ОМИ). Рассмотрим три вида неравенств.

Рассмотрим функцию, которую можно представить в виде произведения нескольких функций $$ F\left( x \right) = f_1 \left( x \right) \cdot f_2 \left( x \right) \cdot ... \cdot f_k \left( x \right)$$, где $$f_1 \left( x \right),\;f_2 \left( x \right),...,\;f_k \left( x \right)$$ - функции, заданные на множестве действительных чисел; $$D\left( {f_1 } \right),\;D\left( {f_2 } \right),\;...\;,D\left( {f_k } \right) $$ - области определения этих функций соответственно.

Тогда, логично считать областью определения функции F(x) пересечение областей определения функций $$ f_1 \left( x \right),\;f_2 \left( x \right),...,\;f_k \left( x \right)$$. Т.е. $$ D(F) = D\left( {f_1 } \right) \cap D\left( {f_2 } \right) \cap \;...\; \cap D\left( {f_k } \right)$$.

Обозначим нули каждой функций: $$ N\left( {f_1 } \right),\;N\left( {f_2 } \right),\;...\;,N\left( {f_k } \right)$$, где $$ N\left( {f_1 } \right) = \left\{ {x \in D\left( {f_1 } \right):f_1 \left( x \right) = 0} \right\} $$, $$ N\left( {f_2 } \right) = \left\{ {x \in D\left( {f_2 } \right):f_2 \left( x \right) = 0} \right\}$$ и наконец $$ N\left( {f_k } \right) = \left\{ {x \in D\left( {f_k } \right):f_k \left( x \right) = 0} \right\}$$. Тогда нулями функции F(x) будем считать $$ N(F) = N\left( {f_1 } \right) \cup \;N\left( {f_2 } \right) \cup \;...\; \cup N\left( {f_k } \right) $$.

На числовом луче отмечают область определения функции F(x) и нули, входящие в эту область. При этом получается множество промежутков, введем для них тоже обозначение: $$ O\left( F \right) = D\left( F \right)\backslash N\left( F \right)$$, где $$ O\left( F \right) = O_1 \cup O_2 \cup ... \cup O_m$$.

Идея излагаемого метода основывается на следующих положениях:

  • Функция F(x) сохраняет постоянный знак на каждом промежутке $$ O_1 ,\;O_2 ,\;...,\;O_m $$.
  • При переходе от промежутка $$O_m$$ к промежутку $$ O_{m\; + \;1}$$ функция F(x) меняет знак, если функции $$f_1 \left( x \right),\;f_2 \left( x \right),...,\;f_k \left( x \right) $$ при этом меняли знак нечетное число раз.
  • При переходе от промежутка $$O_m$$ к промежутку $$ O_{m\; + \;1}$$ функция F(x) не меняет знак, если функции $$f_1 \left( x \right),\;f_2 \left( x \right),...,\;f_k \left( x \right) $$ при этом меняли знак четное число раз.

Проиллюстрируем сказанное таблицей, если $$ F\left( x \right) = f_1 \left( x \right) \cdot f_2 \left( x \right) \cdot f_3 \left( x \right)$$

 
$$ O_1$$
$$ O_2$$
$$ O_3$$
$$ O_4$$
$$ O_5$$
$$ O_6$$
$$ O_7$$
$$ f_1 \left( x \right) $$
+
+
-
-
-
+
-
$$ f_2 \left( x \right) $$
+
+
-
-
+
+
+
$$ f_3 \left( x \right) $$
-
+
+
-
+
-
-
F(x)
-
+
+
-
-
-
+

Неравенства третьего вида.

Пусть $$ F\left( x \right) = f_1 \left( x \right) \cdot f_2 \left( x \right) \cdot ... \cdot f_k \left( x \right) \vee 0 $$. Найдем:

  1. $$ D(F) = D\left( {f_1 } \right) \cap D\left( {f_2 } \right) \cap \;...\; \cap D\left( {f_k } \right) $$
  2. $$ N(F) = N\left( {f_1 } \right) \cup \;N\left( {f_2 } \right) \cup \;...\; \cup N\left( {f_k } \right) $$
  3. $$ O\left( F \right) = D\left( F \right)\backslash N\left( F \right) = O_1 \cup O_2 \cup ... \cup O_m$$
  4. Определим знак функции F(x) на каждом промежутке $$ O_1 ,\;O_2 ,\;...,\;O_m $$.
  5. Выпишем ответ, соответствующий знаку сравнения.

Замечание. Для определения знака функции на промежутке, надо взять любое удобное значение, принадлежащее промежутку и подставить его в функцию. Вычислять значение функции необязательно, если уже можно определить ее знак однозначно. Можно выбирать и граничные точки промежутка. Рассмотрим подробные решения нескольких примеров, чтобы понять, как можно использовать обобщенный метод интервалов при решении неравенств различной сложности.

2017-01-15 18:27:08