Корень n-ной степени

Ключевые слова: степень, основание степени, показатель степени, радикал, квадратный корень

Пусть $$a \ge 0$$ и $$n \in N, n \ne 1$$.
Тогда существует единственное неотрицательное число x такое, что выполняется равенство $$x^{n}=a$$.
Это число называется арифметическим корнем n-ной степени из неотрицательного числа и обозначается $$\root n \of {a}$$.
При этом число a называется подкоренным числом , а число n - показателем корня.
Вместо слова «корень» часто говорят радикал .
Если n = 2, то обычно пишут просто: $$\sqrt{a}$$.
При n = 2 арифметический корень называется квадратным корнем,
при n = 3 говорят о кубическом корне .

Итак, по определению: $$\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt[n]{a}, \\ a \ge 0. \\ \end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}
x^n = a, \\ x \ge 0. \end{array} \right.$$. Отсюда следует, что $$(\root n \of {a})^{n}= a$$.

Действия с корнями

  • Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в степень n.
  • Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного значения.
  • Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей.
  • Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений.
  • Корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми).
  • Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение.
  • Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточно возвести в эту степень корень из основания степени.

Свойства. При $$k, n \in N, n \ne 1, k \ne 1$$ справедливы следующие свойства корней.

  • $$\root n \of {a \cdot b} = \root n \of {a} \cdot \root n \of {b}$$;
  • $$(\root n \of {a})^{k}= \root n \of {a^{k}}$$;
  • $$\root n \of {\root m \of {a}}= \root n \cdot m \of {a}$$;
  • $$\root n \cdot m \of {a^{m \cdot k}}= \root n \of {a^{k}}$$

    Если a < 0, а $$n = 2k, k \in N$$, то не существует такого действительного x , при котором бы выполнялось равенство $$x^{n}=a$$. Следовательно, невозможно ввести понятие корня четной степени из отрицательного числа. Однако определить понятие корня нечётной степени из отрицательного числа всё же возможно. В самом деле, пусть a < 0, а n - нечётное число, тогда существует единственное число x такое, что $$x^{n}=a$$. Это число и называется корнем нечетной степени из отрицательного числа . Оно обозначается точно так же: $$\root n \of {a}$$. Например, $$\root 3 \of {-8}= - 2$$ так как (-2)3= -8. Для нечетных показателей степени свойства, справедливые для неотрицательных значений подкоренных выражений, верны также и для отрицательных значений подкоренных выражений.

    См. также:

    Степенная функция, Арифметический квадратный корень, Логарифм

    2017-01-14 08:34:03