Корень n-ной степени

Ключевые слова: степень, основание степени, показатель степени, радикал, квадратный корень

Пусть $$a \ge 0$$ и  $$n \in N, n \ne 1$$. Тогда существует единственное неотрицательное число x такое, что выполняется равенство $$x^{n}=a$$. Это число называется арифметическим корнем n-ной степени из неотрицательного числа и обозначается $$\root n \of {a}$$. При этом число a называется подкоренным числом , а число n − показателем корня. Вместо слова «корень» часто говорят радикал . Если n = 2, то обычно пишут просто: $$\sqrt{a}$$. При n = 2 арифметический корень называется квадратным корнем, при n = 3 говорят о кубическом корне .

Итак, по определению: $$\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt[n]{a}, \\  a \ge 0. \\ \end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}
 x^n  = a, \\  x \ge 0.  \end{array} \right.$$.  Отсюда следует, что $$(\root n \of {a})^{n}= a$$.  

Действия с корнями

• Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в степень n.
• Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного значения.
• Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей.
• Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений.
• Корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми).
• Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение.
• Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточно возвести в эту степень корень из основания степени.

Свойства. При $$k, n \in N, n \ne 1, k  \ne 1$$ справедливы следующие свойства корней.

• $$\root n \of {a \cdot b} = \root n \of {a} \cdot \root n \of {b}$$;
• $$(\root n \of {a})^{k}= \root n \of {a^{k}}$$;
• $$\root n \of {\root m \of {a}}= \root n \cdot m \of {a}$$;
• $$\root n \cdot m \of {a^{m \cdot k}}= \root n \of {a^{k}}$$
  

Если a < 0, а $$n = 2k, k \in N$$, то не существует такого действительного x , при котором бы выполнялось равенство $$x^{n}=a$$. Следовательно, невозможно ввести понятие корня четной степени из отрицательного числа. Однако определить понятие корня нечётной степени из отрицательного числа всё же возможно. В самом деле, пусть a < 0, а n − нечётное число, тогда существует единственное число x такое, что $$x^{n}=a$$. Это число и называется корнем нечетной степени из отрицательного числа . Оно обозначается точно так же: $$\root n \of {a}$$. Например, $$\root 3 \of {-8}= - 2$$ так как  (-2)³= -8. Для нечетных показателей степени свойства, справедливые для неотрицательных значений подкоренных выражений, верны также и для отрицательных значений подкоренных выражений.

Степенная функция, Арифметический квадратный корень, Логарифм