Общие методы преобразований уравнений

Разложение на множители.

Метод разложения на множители представлен на следующей схеме: $$ f(x) \cdot g(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} f(x) = 0 \\ g(x) = 0 \\ \end{array} \right. \\
x \in ОДЗ \\ \end{array} \right.$$

Замечание. Если $$f(x)$$ и $$g(x)$$ - многочлены, ОДЗ исходного уравнения и каждого уравнения совокупности совпадает с множеством действительных чисел, поэтому для рациональных уравнений схема разложения на множители такая: $$ f(x) \cdot g(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = 0 \\ g(x) = 0 \\
\end{array} \right.$$

Рациональные корни уравнения.

Можно подобрать корень рационального уравнения и затем разложить его на множители. Если x = a целый корень уравнения $$f(x)=0$$, где $$f(x)$$ - многочлен с целыми коэффициентами, свободный член которого не равен 0, то x = a - делитель свободного члена.

Замечание.Если $$ x = \frac{m}{n}$$ - рациональный корень уравнения $$f(x)=0$$, где $$f(x)$$ - многочлен с целыми коэффициентами, то m - делитель свободного члена, а n - делитель старшего члена.

"Избавление" от знаменателя.

Можно дробно рациональное уравнение упростить, умножив обе его части на общий знаменатель его дробных членов. Рассмотрим схему: $$\frac{{f(x)}}{{p(x)}} = \frac{{g(x)}}{{p(x)}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ p(x) \ne 0 \\ \end{array} \right.$$

Замена переменной в уравнении .

Метод замены переменной или метод введения нового неизвестного представлен схемой: $$ f(g(x)) = p(g(x)) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} g(x) = u_1 \\ g(x) = u_2 \\ .... \\ g(x) = u_n \\ \end{array} \right.$$ , где $$ u_1 ,\;u_2 ,...,u_n $$ - корни уравнения $$f(u) = p(u)$$ . Введение новой переменной позволяет разбить задачу на подзадачи, то есть вместо одной сложной решать несколько простых уравнений.

2017-08-07 19:13:44