Основные типы задач на доли и проценты:
- нахождение данной доли числа;
- нахождение числа по заданной его доли;
- нахождение процентного отношения двух чисел;
-
нахождение наращенного капитала (сложные проценты) при заданной процентной ставке (т. е. процент прироста капитала);
-
нахождение времени, в течение которого капитал возрастает
Задачи на части - основным понятием является часть числа. Если задана величина а, то ее k-я. часть равна kа, где k > 0.
Задачи на проценты. При решении задач принимают такие допущения:
- процент величины - одна сотая часть этой величины;
- если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны равенством $$100 \cdot a = p \cdot b$$ или $$\frac{b}{{100}} = \frac{a}{p}$$;
- если число a увеличено на p%, то оно увеличено в $$\left( {1 + \frac{p}{{100}}} \right)$$ раз, то получится число $$a \cdot \left( {1 + \frac{p}{{100}}} \right)$$;
- если уменьшено на q%, $$0 \le q \le 100$$, то оно уменьшено в $$\left( {1 - \frac{q}{{100}}} \right)$$ раз, то получаются число $$a \cdot \left( {1 - \frac{q}{{100}}} \right)$$.
- При многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину: $$S = (1 + n \cdot k)P$ $, где P - исходная сумма, S - наращенная сумма, k - процентная ставка, выраженная в долях, n - число периодов начисления
- При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами: $$S = (1 + k)^n \cdot P$$, при тех же обозначениях.
Задачи на концентрацию, смеси и сплавы. При решении задач используются следующие допущения:
- все полученные сплавы, растворы, смеси считаются однородными;
- при соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов;
- считают, что литр как мера вместимости сосуда равен литру как меры количества жидкости;
- если два сплава (раствора) соединяют в один <новый> сплав (раствор), то выполняются равенства: $$ V = V_1 + V_2 $$ - сохраняется объем и $$ m = m_1 + m_2$$ - сохраняется масса.
- если первый сплав состоит из нескольких компонентов, например из А, В, С, а второй - из компонентов В, С, D, то <новый> сплав, полученный при соединении этих двух сплавов, будет содержать компоненты А, В, С, D, причем массы этих компонентов в <новом> сплаве равны сумме масс каждого из компонентов, входящих в первый и второй сплавы