Задачи на проценты и доли, на концентрацию, смеси и сплавы

Основные типы задач на доли и проценты:

  • нахождение данной доли числа;
  • нахождение числа по заданной его доли;
  • нахождение процентного отношения двух чисел;
  • нахождение наращенного капитала (сложные проценты) при заданной процентной ставке (т. е. процент прироста капитала);
  • нахождение времени, в течение которого капитал возрастает

Задачи на части - основным понятием является часть числа. Если задана величина а, то ее k-я. часть равна kа, где k > 0.

Задачи на проценты. При решении задач принимают такие допущения:

  • процент величины - одна сотая часть этой величины;
  • если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны равенством $$100 \cdot a = p \cdot b$$ или $$\frac{b}{{100}} = \frac{a}{p}$$;
  • если число a увеличено на p%, то оно увеличено в $$\left( {1 + \frac{p}{{100}}} \right)$$ раз, то получится число $$a \cdot \left( {1 + \frac{p}{{100}}} \right)$$;
  • если уменьшено на q%, $$0 \le q \le 100$$, то оно уменьшено в $$\left( {1 - \frac{q}{{100}}} \right)$$ раз, то получаются число $$a \cdot \left( {1 - \frac{q}{{100}}} \right)$$.
  • При многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину: $$S = (1 + n \cdot k)P$ $, где P - исходная сумма, S - наращенная сумма, k - процентная ставка, выраженная в долях, n - число периодов начисления
  • При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами: $$S = (1 + k)^n \cdot P$$, при тех же обозначениях.

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы. При решении задач используются следующие допущения:

  • все полученные сплавы, растворы, смеси считаются однородными;
  • при соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов;
  • считают, что литр как мера вместимости сосуда равен литру как меры количества жидкости;
  • если два сплава (раствора) соединяют в один <новый> сплав (раствор), то выполняются равенства: $$ V = V_1 + V_2 $$ - сохраняется объем и $$ m = m_1 + m_2$$ - сохраняется масса.
  • если первый сплав состоит из нескольких компонентов, например из А, В, С, а второй - из компонентов В, С, D, то <новый> сплав, полученный при соединении этих двух сплавов, будет содержать компоненты А, В, С, D, причем массы этих компонентов в <новом> сплаве равны сумме масс каждого из компонентов, входящих в первый и второй сплавы