Правило Лопиталя

Ключевые слова: правило Лопиталя, раскрытия неопределенностей

Правило Лопиталя.
Пусть при $$x \to a$$ для f(x) и g(x), дифференцируемых в некоторой окрестности точки a, выполняются условия:

1. либо $$f(x)\to 0$$, $$g(x)\to 0$$, либо $$f(x)\to \infty$$, $$g(x)\to \infty$$;
2. существует предел $$lim_{x \to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$$.

Тогда $$lim_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}} = lim_{x \to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$$.

Это правило позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятся либо к нулю, либо к бесконечности, т.е. когда функции f и g одновременно являются либо бесконечными большими, либо бесконечно малыми в точке a .

Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределенностей типа:
$$\frac{0}{0}$$ или $$\frac{\infty}{\infty}$$ .

Неопределенности вида 0 · $$\infty$$, $$\infty$$ – $$\infty$$, 0 ⁰, $$\infty$$ ⁰, 1 ^$$\infty$$ часто удается свести к неопределенностям вида $$\frac{0}{0}$$ или $$\frac{\infty}{\infty}$$ с помощью различных тождественных преобразований. После этого можно применять правило Лопиталя.

Рассмотрим некоторые из возможных преобразований указанных неопределенностей.

1. $$\infty - \infty$$ : пусть $$f(x)\to \infty$$, $$g(x)\to \infty$$ ,
тогда данная неопределённость приводится к типу $$\frac{0}{0}$$ следующим преобразованием: $$f(x) - g(x) = \frac{{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}}{\frac{1}{f(x) \cdot g(x)}}$$,

2. $$\infty \cdot 0$$: пусть $$f(x)\to \infty$$, $$g(x)\to 0$$,
тогда данная неопределенность приводится к типу: $$ \frac{0}{0}$$ или $$\frac{\infty}{\infty}$$ с помощью преобразований: $$f(x) \cdot g(x) = \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}} = \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}$$.

Остальные неопределенности приводятся к первым двум с помощью логарифмического преобразования: $$log_{a}f(x)^{g(x)} = g(x) \cdot log_{a}f(x)$$.

Если после применения правила Лопиталя неопределенность типа : $$\frac{0}{0}$$ или $$\frac{\infty}{\infty}$$ осталась, нужно применить его повторно.
Многократное применение правила Лопиталя может привести к требуемому результату.
Правило Лопиталя применимо и в случае, если $$x \to a$$.