Системы нелинейных уравнений с двумя переменными: теоретический справочник

Система нелинейных уравнений с двумя переменнымию Система вида $$ \left\{ \begin{array}{l} f_1 (x,y) = C_1 \\ f_2 (x,y) = C_2 \\ \end{array} \right. $$, называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными, если хотябы одно из уравнений нелинейное.

Решением системы нелинейных уравнений является пара чисел (a, b) , при подстановке которой в исходную систему получаются верные тождества: $$ \left\{ \begin{array}{l} f_1 (a,b) \equiv C_1 \\ f_2 (a,b) \equiv C_2 \\ \end{array} \right.$$

Нелинейные системы не имеют универсального способа решения, поэтому при решении конкретной системы уравнений нужно учитывать особенности заданных уравнений, переходя к равносильным системам.

Решение нелинейной системы: $$ \left\{ \begin{array}{l} x^2 y^3 - x^3 y^2 = 4 \\ x^2 y^3 + x^3 y^2 = 12 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x^2 y^3 = 16 \\ 2x^3 y^2 = 8 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 y^3 = 8 \\ x^3 y^2 = 4 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y(xy)^2 = 8 \\ \left( {xy} \right)^5 = 32 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4y = 8 \\ xy = 2 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 2 \\ x = \frac{2}{y} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 2 \\ x = 1 \\ \end{array} \right.$$ Ответ:(1; 2)

Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают или обе системы не имеют решений.

Утверждения о равносильности систем уравнений:

  • если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной;
  • если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной;
  • если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например x, через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную x на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.

Основные методы решения систем нелинейных уравнений:

  • метод подстановки;
  • метод введения новых переменных;
  • графический метод;
  • метод алгебраического сложения;
  • метод почленного умножения и деления;
  • метод математического подбора.
2017-08-08 16:16:25