Из определения логарифма вытекают следующие его свойства. Пусть a > 0, a $$\ne$$ 0. Тогда:

• Если x > 0 и y > 0, то $$log_{a}x \cdot y = log_{a}x + log_{a}y$$.

Например, $$log_{2}14 = log_{2}(2 \cdot 7) = log_{2}2 + log_{2}7 = 1 + log_{2}7$$.

• Если x > 0 и y > 0, то $$log_{a}\frac{x}{y} = log_{a}x - log_{a}y$$.

Например, $$log_{a}0,4 = log_{5}\frac{2}{5} = log_{5}2 - log_{5}5 = log_{5}2 - 1$$.

• Если x > 0, то $$log_{a}x^{p}=plog_{a}x$$.
  

Например, $$log_{2}49 = log_{2}7^{2}=2log_{2}7$$, $$log_{3}\root 4 \of {5} = log_{3}5^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}log_{3}5$$.

• Если b > 0, b $$\ne$$ 1, x > 0, то $$log_{a}x = \frac{log_{b}x}{log_{b}a}$$.

Например, $$log_{3}5 = \frac{log_{7}5}{log_{7}3}$$. Эта формула называется формулой перехода к новому основанию .

• Если x > 0, то $$log_{a^{m}}x^{n} = \frac{n}{m} \cdot log_{a}x$$.

Например, $$log_{9}4 = log_{3^{2}}2^{2} = \frac{2}{2} \cdot log_{3}2 = log_{3}2$$, $$log_{\sqrt{5}}(\frac{3}{5})^{- \frac{3}{2}}= log_{5^{\frac{1}{2}}}(\frac{3}{5})^{- \frac{3}{2}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}log_{5}\frac{3}{5}= -3(log_{5}3 - log_{5}5) = -3(log_{5}3 - 1)$$.