Обобщенный метод интервалов решения неравенств: неравенства первого типа

Опишем метод интервалов для решения неравенств, не являющихся дробно-рациональными и назовем его обобщенный метод интервалов (ОМИ). Рассмотрим три вида неравенств.

Неравенства первого вида.

Рассмотрим неравенство вида $$f\left( x \right) \vee 0 $$. Где f(x) - одна из функций: логарифмическая, показательная, иррациональная и тригонометрическая. Введем обозначения: $$D\left( f \right)$$ - область определения функции; $$ N\left( f \right)$$ - множество нулей функции; $$O\left( f \right)$$ - множество промежутков. Для решения неравенства $$f\left( x \right) \vee 0 $$ обобщенный метод интервалов заключается в следующем:

Найдем:

  1. $$ D\left( f \right)$$.
  2. $$ N\left( f \right)$$.
  3. $$O\left( f \right) = D\left( f \right)\backslash N\left( f \right) = O_1 \cup O_2 \cup ... \cup O_m $$.
  4. Определим знак функции f(x) на каждом промежутке $$O_1 ,\;O_2 ,\;...,\;O_m$$, подставляя удобные значения, принадлежащие каждому промежутку (можно брать и граничные значения).
  5. Для неравенств вида $$ f\left( x \right) > 0 $$ или $$f\left( x \right) \ge 0$$ ответом является объединение тех промежутков, на которых f(x) сохраняет знак <+>. Для неравенств вида $$f\left( x \right) < 0$$ или $$f\left( x \right) \le 0 $$ ответом является объединение тех промежутков, на которых f(x) сохраняет знак <->.

Пример. Решить неравенство $$ \log _x \frac{{3x - 1}}{{x^2 + 1}} > 0$$.

Решение: Пусть $$ f(x) = \log _x \frac{{3x - 1}}{{x^2 + 1}}$$.

1. Найдем $$ D(f):\left\{ \begin{array}{l} \frac{{3x - 1}}{{x^2 + 1}} > 0; \\ x > 0,\quad x \ne 1. \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \frac{1}{3}; \\ x > 0,\quad x \ne 1. \\ \end{array} \right. \Rightarrow $$ $$ D(f) = \left( {\frac{1}{3};1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$$.

2. Найдем $$ N(f):\log _x \frac{{3x - 1}}{{x^2 + 1}} = 0 \Leftrightarrow \log _x \frac{{3x - 1}}{{x^2 + 1}} = \log _x 1 \Leftrightarrow \frac{{3x - 1}}{{x^2 + 1}} = 1$$. Решая уравнение получим $$ \frac{{3x - 1}}{{x^2 + 1}} = 1 \Rightarrow x_1 = 1 \notin D(f),\quad x_2 = 2 \in D(f)$$.

3. Найдем $$O\left( f \right) = D\left( f \right)\backslash N\left( f \right) = \left( {\frac{1}{3};1} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$$.

4. Определим знак f(x) на промежутках $$ O_1 ,\;O_2 ,\;O_3$$:

$$ O_1 = \left( {\frac{1}{3};1} \right):x = \frac{1}{2} \in O_1 \Rightarrow f(0,5) = \log _{0,5} \frac{{0,5}}{{1.25}} > 0$$

$$ O_2 = \left( {1;2} \right):x = 1,5 \in O_2 \Rightarrow f(1,5) = \log _{1,5} \frac{{4,5 - 1}}{{3,25}} > 0 $$

$$ \;O_3 = \left( {2; + \infty } \right):x = 3 \Rightarrow f(3) = \log _3 \frac{8}{{10}} < 0$$

5. Ответ: $$ \left( {\frac{1}{3};1} \right) \cup \left( {1;2} \right)$$.

2017-01-14 11:11:49