Ключевые слова: функция, график, оси координат, ось абсцисс, ось ординат, точка перегиба, экстремум, точка максимума, точка минимума

Полная схема исследования функции и построения ее графика

Общие исследование функции y = f(x).

• Область определения функции. Найти ее область определения D(f) . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений E(f) . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения E(f) откладывается до нахождения экстремумов функции.)
• Особые свойства функции. Выяснить общие свойства функции: четность, нечетность, периодичность и т.п. Не любая функция обладает такими свойствами, как четность либо нечетность. Функция заведомо не является ни четной, ни нечетной, если ее область определения несимметрична относительно точки 0 на оси Ox. Точно так же, у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков.
• Вертикальные асимптоты. Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения D(f), если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она не определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.
• Наклонные и горизонтальные асимптоты. Если область определения D(f) вклоючает в себя лучи вида $$(a;+\infty)$$ или $$(-\infty; b)$$, то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при $$x \to+ \infty $$ или $$x \to- \infty $$ соответственно, т.е. найти $$lim_{x \to \pm \infty}f(x)$$. Наклонные асимптоты: y = kx + b, где $$k = lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}$$ и $$b = lim_{x \to +\infty}(f(x) - x)$$. Горизонтальны асимптоты: y = b, где $$lim_{x \to \pm \infty}f(x)= b$$.
• Нахождение точек пересечения графика с осями. Нахождение точки пересечения графика с осью Oy. Для этого нужно вычислить значение f(0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox, для чего найти корни уравнения f(x) = 0 (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удается решить лишь приближунно, но уже отделение корней помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.
• Нахождение точек пересечения графика с асимптотой. В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

Исследования с помощью производной (продолжение)

Нахождение промежутков монотонности. Найти интервалы монотонности функции f(x) (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной $$f\;'(x)$$. Для этого находят производную $$f\;'(x)$$ и решают неравенство $$f\;'(x)> 0$$. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f(x) возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство $$f\;'(x)< 0$$, функция f(x) убывает. Нахождение локального экстремума. Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием -- локальные минимумы. Вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

• Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости. Это делается с помощью исследования знака второй производной $$f\;''(x)$$. Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции. Найдя $$f\;''(x)$$ , мы решаем неравенство $$f\;''(x)> 0$$. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство $$f\;''(x)< 0$$, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута). Определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b] (продолжение)

1. Найти производную функции: $$f\;'(x)$$. 2. Найти точки, в которых производная равна нулю: $$f\;'(x) = 0 \Rightarrow$$ x1, x2,... 3. Определить принадлежность точек х1, х2, … отрезку [a; b]: пусть $$x_1 \in \left[ {a;b} \right]$$, а $$x_2 \notin \left[ {a;b} \right]$$. 4. Найти значения функции в выбранных точках и на концах отрезка: f(x1), f(x2),..., f(xa), f(xb), 5. Выбор наибольшего и наименьшего значений функции из найденных. Замечание. Если на отрезке [a; b] имеются точки разрыва, то необходимо в них вычислить односторонние пределы, а затем их значения учесть в выборе наибольшего и наименьшего значений функции.