Действия с комплексными числами, заданных в алгебраической форме

Свойство сложени: Сумма двух комплексных чисел $$ z_1 = a + bi$$ и $$ z_2 = c + di$$ будет комплексное число вида $$ z = z_1 + z_2 = \left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + (b + d)i $$

Пример: $$ \left( {5 + 3i} \right) + \left( {3 - i} \right) = 8 + 2i$$

Свойство вычитания: Разность двух комплексных чисел $$ z_1 = a + bi$$ и $$ z_2 = c + di$$ будет комплексное число вида $$ z = z_1 - z_2 = \left( {a + bi} \right) - \left( {c + di} \right) = \left( {a - c} \right) + (b - d)i $$

Пример: . $$ \left( {5 + 3i} \right) - \left( {3 - i} \right) = 2 + 4i$$

Свойство умножения: Произведение двух комплексных чисел $$ z_1 = a + bi$$ и $$ z_2 = c + di$$ будет комплексное число вида $$ z = z_1 \cdot z_2 = \left( {a + bi} \right) \cdot \left( {c + di} \right) = \left( {ac - bd} \right) + (ad + bc)i$$

Пример: $$ \left( {3 + 2i} \right) \cdot \left( {4 - i} \right) = 12 - 3i + 8i - 2i^2 = 14 + 5i$$

Свойство деления: Частное двух комплексных чисел $$ z_1 = a + bi$$ и $$ z_2 = c + di$$ будет комплексное число вида $$z = \frac{{z_1 }}{{z_2 }} = \frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{ac + bd}}{{c^2 + d^2 }} + \frac{{bc - ad}}{{c^2 + d^2 }}i$$

Пример: . $$ \frac{{2 + i}}{{1 + i}} = \frac{{\left( {2 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = \frac{{2 - 2i + i - i^2 }}{{1 - i^2 }} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i$$

Степени мнимой единицы

$$ i^0 = 1 $$ $$ i^1 = i$$ $$ i^2 = - 1 $$ $$ i^3 = - i$$ $$ i^4 = 1
$$
$$ i^5 = i
$$
$$ i^6 = - 1
$$
$$ i^7 = - i
$$
.... $$i^{4n} = 1
$$
$$i^{4n + 1} = i
$$
$$i^{4n + 2} = - 1
$$
$$i^{4n + 3} = - i$$
2017-01-13 23:35:26