Тригонометрические уравнения; примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий

Задания
Достаточные знания свойств
Формулы
$$\quad $$ $$\begin{array}{l} 2\sin ^2 x + 3\cos ^2 x - 2 = 0 \Leftrightarrow \\ 2\sin ^2 x + 3\left( {1 - \sin ^2 x} \right) - 2 = 0 \\ \end{array}$$ Приведение тригонометрических выражений к одному виду $$\quad $$ $$\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$$
$$\quad $$ $$\begin{array}{l} 2\sin ^2 x + 3\sin x - 2 = 0 \Leftrightarrow \\ 2y^2 + 3y - 2 = 0 \\ \end{array}$$ Замена функции новой переменной $$\quad $$ $$\sin x = y$$
$$\quad $$ $$\begin{array}{l} \sin 2x - 3\cos x = 0 \Leftrightarrow \\ 2\sin x\cos x - 3\cos x = 0 \\ \end{array}$$ Приведение тригонометрических выражений к одинаковому углу $$\quad $$ $$\sin 2x = 2\sin x\cos x$$
$$\quad $$ $$\begin{array}{l} 3\cos ^2 x - \sin 2x - \sin ^2 x = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{3\cos ^2 x}}{{\sin ^2 x}} - \frac{{\sin 2x}}{{\sin ^2 x}} - \frac{{\sin ^2 x}}{{\sin ^2 x}} = 0, \\ \sin ^2 x \ne 0 \\ \end{array}$$ Решение однородного уравнения 2-го порядка $$\quad $$ $$\begin{array}{l} af^2 (x) + bf(x)g(x) + cg^2 (x) = 0 \\ \Leftrightarrow \\ \frac{{af^2 (x)}}{{g^2 (x)}} + \frac{{bf(x)g(x)}}{{g^2 (x)}} + \frac{{cg^2 (x)}}{{g^2 (x)}} = 0 \\ \end{array}$$

Пример. Решите уравнение $$2\cos ^2 x - 3\sin x = 0$$

Решение: $$2\cos ^2 x - 3\sin x = 0 \Leftrightarrow 2\left( {1 - \sin ^2 x} \right) - 3\sin x = 0$$. Пусть $$\sin x = y,\quad \left| y \right| \le 1$$, тогда $$2\left( {1 - y^2 } \right) - 3y = 0 \Leftrightarrow - 2y^2 - 3y + 2 = 0 \Leftrightarrow y_1 = 0,5,\quad y_2 = - 2$$. По условию $$\left| y \right| \le 1$$ подходит корень y = 0,5 . Вернемся к замене $$\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \left( { - 1} \right)^n \arcsin \frac{1}{2} + \pi n,\;n \in Z \Rightarrow x = \left( { - 1} \right)^n \frac{\pi }{6} + \pi n,\;n \in Z$$

Ответ: $$x = \left( { - 1} \right)^n \frac{\pi }{6} + \pi n,\;n \in Z$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Основное тригонометрическое тождество: $$\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha = 1 \Leftrightarrow \cos ^2 \alpha = 1 - \sin ^2 \alpha $$.
  • Свойство ограниченности функции синус:$$ - 1 \le \sin \alpha \le 1$$ .
  • Замена функции новой переменной.
  • Решение квадратного уравнения.
  • Формулы решения простейшего тригонометрического уравнения.
2017-01-13 23:07:30