логин
пароль
 
Забыли пароль?

Решение интегралов

Ключевые слова: первообразная функция, производная, правила интегрирования, формула Ньютона - Лейбница

Интегралом от a до b функции f называется приращение первообразной F этой функции, т.е. F(b) - F(a).

Очевидно, что это приращение не зависит от выбора первообразной.

Интеграл от a до b функции f обозначается так: $$\int_a^bf(x)dx$$.
Числа a и b называются пределами интегрирования, a - нижним, b - верхним пределом.
знак $$\int$$ называется знаком интеграла,
функция f - подынтегральной функцией,
x - переменной интегрирования.
Отрезок с концами a и b называется отрезком интегрирования.

Верхний предел интегрирования необязательно больше нижнего предела; может быть a > b, a = b.

Формула Ньютона - Лейбница: $$\int_a^bf(x)dx = F(x)|^{b}_{a} = F(b) - F(a)$$.

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции: $$S = \int_a^bf(x)dx = F(x)|^{b}_{a} = F(b) - F(a)$$.
Формула верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [a;b]

Основные правила интегрирования

  • Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: $$\int_a^bk \cdot f(x)dx = k \cdot \int_a^bf(x)dx$$, где k - постоянная.
  • Интеграл от суммы равен сумме интегралов: $$\int_a^b(f(x) + g(x))dx = \int_a^bf(x)dx + \int_a^bg(x)dx$$.
  • Справедлива следующая замена переменной:$$\int_a^bf(kx +p)dx = \frac{1}{k}\int_{ka +p}^{kb +p}f(t)dt$$,
    где t = kx + p, k и p - постоянные,
    причем новые пределы интегриролвания получаются из формулы t = kx + p заменой x на a и на b.



См. также:
Первообразная элементарных функций, Определенный интеграл, Площадь криволинейной трапеции