Симметрические, возвратные и однородные уравнения

Уравнения вида $$ a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + ...+a_k x^{n - k} + ... + a_k x^k + ... + a_1 x + a_0 = 0$$, где коэффициенты членов, равно отстоящих от концов, равны между собой, называют симметрическими уравнениями.

Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень x = -1.

Симметрическое уравнение четной степени 2n с помощью подстановки $$ u = x + \frac{1}{x}$$ сводится к уравнению степени n

Пример: Уравнение $$ 2x^5 + 5x^4 - 13x^3 - 13x^2 + 5x + 2 = 0$$ степени 5 (нечетное число), тогда один из корней x = -1. .
Разделим левую часть уравнения на x+1 , получим симметрическое уравнение 4 степени.
Разделим обе части уравнения на $$ x^2 $$, введем замену $$u = x + \frac{1}{x}$$ и получим ответ: $$ - 1,\; - 2 \pm \sqrt 3 ,\;2,\;\frac{1}{2}$$.

Уравнения вида $$ a_0 x^{2n + 1} + a_1 x^{2n} + ... + a_n x^{n + 1} + a_{n + 1} x^n + ... + a_{2n} x + a_{2n + 1} = 0$$ называют возвратными уравнениями нечетной степени,
если $$\frac{{a_{2n + 1} }}{{a_0 }} = \lambda ^{n + 1} ,\quad \frac{{a_{2n} }}{{a_1 }} = \lambda ^n ,\quad \frac{{a_{n + 1} }}{{a_n }} = \lambda $$, где $$ \lambda$$ - некоторое действительное число.

Уравнения вида $$ a_0 x^{2n} + a_1 x^{2n - 1} + ... + a_{n - 1} x^{n + 1} + a_n x^n + ... + a_{2n - 1} x + a_{2n} = 0$$ называют возвратными уравнениями четной степени,
если $$ \frac{{a_{2n} }}{{a_0 }} = \lambda ^n ,\quad \frac{{a_{2n - 1} }}{{a_1 }} = \lambda ^{n - 1} ,\quad \frac{{a_{n + 1} }}{{a_{n - 1} }} = \lambda$$, где $$ \lambda$$ - некоторое действительное число.

Возвратное уравнение нечетной степени имеет корень $$ x = - \lambda $$.

Возвратное уравнение четной степени 2n с помощью подстановки $$ u = x + \frac{\lambda }{x}$$ сводится к уравнению степени n

Пример: Уравнение $$3x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 4x + 12 = 0$$ степени 4 (четное число), разделим обе части уравнения на $$ x^2 $$, введем замену $$ u = x + \frac{2}{x}$$ и получим ответ: корней нет.
Уравнение вида $$ a_0 \left( {u\left( x \right)} \right)^n + a_1 \left( {u\left( x \right)} \right)^{n - 1} v\left( x \right) + ... + a_k \left( {u\left( x \right)} \right)^{n - k} \left( {v\left( x \right)} \right)^k + ... + a_n \left( {v\left( x \right)} \right)^n = 0$$ называют однородным уравнением степени n относительно $$ {u\left( x \right)}$$ и $$ v\left( x \right)$$.

Если обе части однородного уравнения разделить на $$ \left( {v\left( x \right)} \right)^n$$, применяя замену $$ t = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}$$
получим уравнение $$ a_0 t^n + a_1 t^{n - 1} + ... + a_k t^{n - k} + ... + a_n = 0$$

Пример: Уравнение $$ \left( {x - 3} \right)^2 \left( {x + 2} \right)^2 - \left( {x - 3} \right)\left( {x^2 - 4} \right) - 2\left( {x - 2} \right)^2 = 0
$$ после замены $$ u = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right),\quad v = x - 2$$,
сведется к однородному уравнению вида $$ u^2 - uv - 2v^2 = 0$$ и получим в ответе 1.
2017-08-07 19:13:58