Одночлены и многочлены

Ключевые слова: одночлен, многочлен, стандартный вид одночлена, сумма одночленов.

Алгебраическое выражение - это выражение, составленное из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и скобок.

Простейшим алгебраическим выражением является одночлен.

Одночленом называется выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения, и при этом не содержит никаких других действий с этими числами и переменными.

Например, $$5a(\frac{4}{7}a^{3}), 4xy^{2}(-3xz)$$ - одночлены, а выражения $$a + b, \frac{c}{d}$$ - не одночлены.

Определение. Одночлен называется представленным в стандартном виде , если он представлен в виде произведения числового множителя на первом месте и степеней различных переменных. Числовой множитель у одночлена стандартного вида называется коэффициентом одночлена, сумму показателей степени переменных называют степенью одночлена .

Ясно, что произведение одночленов также будет одночленом; ясно также, что одночлен в некоторой натуральной степени также является одночленом. Результаты таких действий (умножение одночленов и возведение одночлена в степень) обычно приводят к стандартному виду.

Примеры:

  1. Привести к стандартному виду одночлен $$3а \cdot (2,5а^{3})$$.
    Решение.$$3а \cdot (2,5а^{3}) = (3 \cdot 2,5)\cdot (а\cdot а^{3}) = 7,5а^{4}$$.
  2. Выполнить умножение одночленов $$24ab^{2}cd^{3} и \frac{1}{6}a^{2}b^{3}c$$.
    Решение    . $$(\frac{1}{6}a^{2}b^{3}c)\cdot(24ab^{2}cd^{3}) = (24\cdot\frac{1}{6})\cdot(a\cdot a^{2})\cdot( b^{2}\cdot b^{3})\cdot(c\cdot c)\cdot d^{3}$$.
  3. Возвести одночлен $$(-3ab^{2}c^{3})$$ в четвертую степень.
    Решение.     $$(-3ab^{2}c^{3})^{4} = (-3)^{4} \cdot a^{4} \cdot (b^{2})^{4} \cdot (c^{3})^{4} = 81a^{4}b^{8}c^{12}$$.

Два одночлена, приведённых к стандартному виду, называются подобными , если они совпадают или же отличаются только числовым коэффициентом. Сложение и вычитание подобных одночленов называется приведением подобных слагаемых .

Многочленом называется сумма одночленов. Если все одночлены в многочлене приведены к стандартному виду, то говорят, что это многочлен стандартного вида . Алгебраическое выражение, не содержащее операции деления и извлечения корня (такое выражение называется целым ), всегда может быть приведено к многочлену стандартного вида. Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его слагаемых.

Пример 5. Привести к многочлену стандартного вида ( a – b )( a + b ).

Решение. Имеем ( a – b )( a + b ) = ( a – b ) · a + ( a – b ) · b = a 2 – ba + ba – b 2 = a 2 – b 2.

Ответ. a 2 – b 2.

Пример 6. Привести к многочлену стандартного вида ( a 2 – ab ) – (3 ab – 2 a 2 – 5 b ( a + b 2 )).

Решение. ( a 2 – ab ) – (3 ab – 2 a 2 – 5 b ( a + b 2 )) = a 2 – ab – 3 ab + 2 a 2 + 5 ba + 5 b 3 = 3 a 2 + ab + 5 b 3.

Ответ. 3 a 2 + ab + 5 b 3.