Формулы сокращенного умножения
Ключевые слова: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов
- Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс
удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)2=a2+2ab+b2
- Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус
удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b)2=a2-2ab+b2
- Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их
квадратов. (a+b)(a-b)=a2-b2
- Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс
утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение
первой на квадрат второй плюс куб второй. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
- Куб разности двух величин равен кубу первой
минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное
произведение первой на квадрат второй минус куб второй. (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
- Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности
равно сумме их кубов. ( a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
- Произведение разности двух величин на
неполный квадрат суммы равно разности их кубов. (a-b)(a2+ab+b2)=a3- b3
Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения
формул сокращённого умножения
.
Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением
подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть:
Пример. Докажите формулу
a 3
+
b 3
= (
a
+
b
)(
a 2
–
ab
+
b 2
).
Решение. Имеем (
a
+
b
)(
a
2
–
ab
+
b 2
) =
a 3
–
a 2 b
+
ab 2
+
ba 2
–
ab 2
–
b 3. Приводя подобные слагаемые, мы видим, что (
a
+
b
)(
a 2
–
ab
+
b 2
) =
a 3
+
b 3, что и доказывает нужную формулу.
Пример.
Упростите выражение (2
x 3
– 5
z
)(2
x 3
+ 5
z
).
Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов, получим:
(2
x 3
– 5
z
)(2
x 3
+ 5
z
) = (2
x 3
)
2
– (5
z
)
2
= 4
x 6
– 25
z 2.
См. также:
Квадратное уравнение,
Степень
Ким Наталья Анатольевна
|
