Образцы решения заданий по теме "Уравнения и неравенства смешанного типа"

Пример 1. Решите неравенство $$ \left| {7^x - 5} \right| + \left| {x^2 - 6x + 5} \right| > 7^x + x^2 - 6x $$

Решение: Так как $$ 7^x + x^2 - 6x > 0 $$, то $$ 7^x + x^2 - 6x = \left| {7^x + x^2 - 6x} \right| $$. Используя схему $$ \left| {a + b} \right| < \left| a \right| + \left| b \right| \Leftrightarrow a \cdot b < 0 $$, получим $$ \left| {7^x - 5} \right| + \left| {x^2 - 6x + 5} \right| > 7^x + x^2 - 6x $$. Используя замену $$ a^f - b \leftrightarrow \left( {f - \log _a b} \right)\left( {a - 1} \right) $$, О.Д.З.: $$ b > 0$$ для множителя $$ \left( {7^x - 5} \right) $$, получим $$ \left( {7^x - 5} \right)\left( {x^2 - 6x + 5} \right) < 0 \Leftrightarrow $$ $$ \left( {x - \log _7 5} \right)\left( {x^2 - 6x + 1} \right) < 0 $$. Решим неравенство $$ \left( {x - \log _7 5} \right)\left( {x^2 - 6x + 1} \right) < 0$$ методом интервалов. Пусть $$ h(x) = \left( {x - \log _7 5} \right)\left( {x^2 - 6x + 5} \right) = \left( {x - \log _7 5} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right) < 0 $$. Корни выражения $$ h(x) = \left( {x - \log _7 5} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0:\quad x = \log _7 5 < 1,\quad x = 1,\quad x = 5 $$. Нанесем все на числовую ось:

неравенство 3

Ответ: $$ x \in \left( { - \infty ;\log _7 5} \right) \cup \left( {1;5} \right) $$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Определение модуля: $$ \left| a \right| = \left[ \begin{array}{l} \;\;\,a,\;\;a \ge 0 \\ - a,\;\;a < 0 \\ \end{array} \right.$$
  • Равносильность модульного неравенства: $$ \left| {a + b} \right| < \left| a \right| + \left| b \right| \Leftrightarrow a \cdot b < 0 $$
  • Метод замены функции: $$ a^f - b \Leftrightarrow \left( {f - \log _a b} \right)\left( {a - 1} \right)$$, О.Д.З.: b > 0
  • Обобщенный метод интервалов.
  • Равносильность уравнения: $$ f(x) \cdot g(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = 0, \\ g(x) = 0. \\ \end{array} \right.$$

Пример 2. Решите неравенство $$ \log _{\left| x \right| - 2} \left| {x - 3} \right| \le 0 $$

Решение: О.Д.З.: $$ x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right),\quad x \ne \pm 3$$ $$ \log _{\left| x \right| - 2} \left| {x - 3} \right| \le 0 \Leftrightarrow \left( {\left| {x - 3} \right| - 1} \right)\left( {\left| x \right| - 2 - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left( {\left| {x - 3} \right| - 1} \right)\left( {\left| x \right| - 3} \right) \le 0 \Leftrightarrow $$ $$ \left( {\left( {x - 3} \right)^2 - 1} \right)\left( {x^2 - 3^2 } \right) \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) \le 0 $$

неравенство 4

Ответ: $$ \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( {3;4} \right]$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Метод замены функции: схема замен функций $$ \log _a f \leftrightarrow \left( {f - 1} \right)\left( {a - 1} \right)$$, О.Д.З.: $$ \left\{ \begin{array}{l} f > 0; \\ a > 0{\rm{ }}{\rm{, }}a \ne 1. \\ \end{array} \right.$$
  • Метод замены функции: функции: схема замен функций: $$ \left| f \right| - \left| g \right| \leftrightarrow f^2 - g^2$$
  • Формулы сокращенного умножения.
  • Решение неравенств методом интервалов.

Пример 3. Решите неравенство $$\log _{x + 2} \left( {x^2 - 4x + 1} \right) > \log _{\frac{{3x - 5}}{{x - 6}}} 1$$

Решение: Рассмотрим функцию $$h\left( x \right) = \log _{x + 2} \left( {x^2 - 4x + 1} \right) - \log _{\frac{{3x - 5}}{{x - 6}}} 1 > 0$$ $$ \Rightarrow h\left( x \right) = \log _{x + 2} \left( {x^2 - 4x + 1} \right) > 0$$, так как $$\log _{\frac{{3x - 5}}{{x - 6}}} 1 = 0$$ В области допустимых значений функции h(x) применим метод замены функции и решим неравенство методом интервалов. $$D(h):x^2 - 4x + 1 > 0,\quad x + 2 > 0,\quad x + 2 \ne 1,\quad \frac{{3x - 5}}{{x - 6}} > 0,\quad \frac{{3x - 5}}{{x - 6}} \ne 1$$ $$ \Rightarrow D(h) = \left( { - 2;2 - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)$$ $$h\left( x \right) = \log _{x + 2} \left( {x^2 - 4x + 1} \right) > 0 \Rightarrow $$ $$h\left( x \right) = \left( {x^2 - 4x + 1 - 1} \right)\left( {x + 2 - 1} \right) > 0 \Rightarrow $$ $$h\left( x \right) = x\left( {x - 4} \right)\left( {x + 1} \right) > 0$$. Решим последнее неравенство методом интервалов и с учетом D(h) , получим ответ $$\left( { - 1; - 0,5} \right) \cup \left( { - 0,5;0} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)$$

Ответ: $$\left( { - 1; - 0,5} \right) \cup \left( { - 0,5;0} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • ОДЗ(f) алгебраических выражений: $$\log _{\left\{ {\scriptstyle a(x) > 0; \atop \scriptstyle a(x) \ne 1. } \right.} (b(x) > 0)$$
  • Свойства логарифма числа 1: $$\log _a 1 = 0$$
  • Решение неравенств методом интервалов.
  • Решение полного квадратного уравнения.
  • Решение квадратичного неравенства: $$ x^2 + px + q > 0 $$
  • Равносильность неравенства: $$\frac{{f(x)}}{{g(x)}} \ge 0 \Leftrightarrow f(x) \cdot g(x) \ge 0,\quad g(x) \ne 0$$
  • Метод замены функции: схема замен функций $$ \log _a f \leftrightarrow \left( {f - 1} \right)\left( {a - 1} \right) $$, О.Д.З.: $$ \left\{ \begin{array}{l} f > 0; \\ a > 0{\rm{ }}{\rm{, }}a \ne 1. \\ \end{array} \right. $$

Пример 4. Решите неравенство $$\left( {2 - \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {\log ^2 _{0,5} \left( {3x - 6} \right) + 2} \right) < 0$$

Решение: Пусть $$ F\left( x \right) = f_1 \left( x \right) \cdot f_2 \left( x \right) < 0 $$, где $$ f_1 \left( x \right) = 2 - \sqrt {3x + 1} $$, $$ f_2 \left( x \right) = \log _{0,5}^2 \left( {3x - 6} \right) + 2 $$.

Применим обобщенный метод интервалов:

  1. Найдем область допустимых значений: $$ D(f_1 ):\;\quad 3x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge - \frac{1}{3};\quad D(f_2 ):\;\quad 3x - 6 > 0 \Rightarrow x > 2 $$. Итак $$ D(F) = D\left( {f_1 } \right) \cap D\left( {f_2 } \right) = \left( {2; + \infty } \right) $$..
  2. Найдем нули функции: $$ N(f_1 ):\quad 2 - \sqrt {3x + 1} = 0 \Rightarrow x = 1 \notin D(F);\quad N(f_2 ):\quad \log _{0,5}^2 \left( {3x - 6} \right) + 2 = 0 \Rightarrow \emptyset $$. Итак $$ N(F) = N\left( {f_1 } \right) \cup \;N\left( {f_2 } \right) = \emptyset$$
  3. Найдем множество промежутков $$ O\left( F \right) = D\left( F \right)\backslash N\left( F \right) = \left( {2; + \infty } \right) $$
  4. .Определим знак F(x) на промежутке $$ \left( {2; + \infty } \right) $$: $$ \left[ \begin{array}{l} f_1 \left( x \right) < 0 \\ f_2 \left( x \right) > 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow F(x) = f_1 \left( x \right) \cdot f_2 \left( x \right) < 0$$

Ответ: $$ \left( {2; + \infty } \right)$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • ОДЗ(f) алгебраических выражений: $$\sqrt[{2k}]{{C(x) \ge 0}}$$
  • ОДЗ(f) алгебраических выражений: $$\log _{\left\{ {\scriptstyle a(x) > 0; \atop \scriptstyle a(x) \ne 1. } \right.} (b(x) > 0)$$
  • Свойство корня четной степени : $$\left( {\sqrt[{2k}]{a}} \right)^{2k} = a,\quad a \ge 0$$
  • Свойство степени an c натуральным показателем: $$a^2 > 0$$

Пример 5. Решите неравенство $$\left( {x^2 - x + 1} \right)^{\frac{{x - 11}}{{x - 4}}} \le \left( {x^2 - x + 1} \right)^3 $$

Решение: Рассмотрим функцию $$h\left( x \right) = \left( {x^2 - x + 1} \right)^{\frac{{x - 11}}{{x - 4}}} - \left( {x^2 - x + 1} \right)^3 \le 0$$. Воспользуемся методом замены функции,применим схему $$ a^f - a^g \leftrightarrow \left( {f - g} \right)\left( {a - 1} \right) $$, О.Д.З.: $$a > 0,\quad a \ne 1$$

$$h\left( x \right) = \left( {x^2 - x + 1} \right)^{\frac{{x - 11}}{{x - 4}}} - \left( {x^2 - x + 1} \right)^3 \le 0 \Rightarrow $$ $$h\left( x \right) = \left( {x^2 - x + 1 - 1} \right)\left( {\frac{{x - 11}}{{x - 4}} - 3} \right) \le 0 \Rightarrow $$ $$h\left( x \right) = \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 0,5} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)}} \ge 0$$

В области допустимых значений функции h(x) применим метод замены функции и решим неравенство методом интервалов.

  1. Найдем область допустимых значений: $$D(h):x^2 - x + 1 > 0;\quad x^2 - x + 1 \ne 1 \Rightarrow D(h) = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$$
  2. Найдем нули функции: $$N(h):h\left( x \right) = \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 0,5} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)}} = 0 \Rightarrow x = 0,\quad x = 1,\quad x = 0,5$$

Решим неравенство $$h\left( x \right) = \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 0,5} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)}} \ge 0$$ методом интервалов и с учетом D(h) и N(h), получим ответ $$\left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {0,5;1} \right] \cup \left( {4; + \infty } \right)$$

Ответ: $$\left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {0,5;1} \right] \cup \left( {4; + \infty } \right)$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Метод замены функции: схема замен функций: $$ a^f - a^g \leftrightarrow \left( {f - g} \right)\left( {a - 1} \right) $$, О.Д.З.: $$a > 0,\quad a \ne 1$$
  • ОДЗ(f) алгебраических выражений: $$ \left( {d(x) > 0} \right)^{ - \frac{m}{n}} > 0,\;n \in N,\;m \in Z $$
  • ОДЗ(f) алгебраических выражений: $$ a^f - a^g \leftrightarrow \left( {f - g} \right)\left( {a - 1} \right) $$, О.Д.З.: a > 0
  • $$ \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0 \\ g(x) \ne 0 \\ \end{array} \right. $$
  • Равносильность неравенства: $$\frac{{f(x)}}{{g(x)}} \ge 0 \Leftrightarrow f(x) \cdot g(x) \ge 0,\quad g(x) \ne 0$$
2017-01-14 01:50:12