Решение неравенств, содержащих выражение под знаком модуль

Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Только, решая неравенства с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.

Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки, границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений, а затем неравенство решается на каждом из промежутков.

Этот метод работает всегда. Нужно понимать, что раскрытие модуля по определению неизменно приводит к цели. Конечно же, этот метод не является оптимальным: в условиях ЕГЭ, где важен не только результат, но и то время, которое потрачено на его получение. Рассмотрим методы, не связанные с поиском нулей функций, стоящих под знаком модуля.

Решение неравенств с модулем:

1) $$\left| {x + a} \right| \le b \Leftrightarrow - \left( {b + a} \right) \le x \le b - a$$, где $$a > 0,\;b > 0$$

2) $$\left| {x + a} \right| \ge b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - \left( {a + b} \right), \\ x \ge - \left( {a - b} \right). \\ \end{array} \right.$$, где $$a > 0,\;b > 0$$

3) $$x^2 \le a^2 \Leftrightarrow \left| x \right| \le a,\;a > 0 \Leftrightarrow - a \le x \le a$$

4) $$x^2 \ge a^2 \Leftrightarrow \left| x \right| \ge a,\;a > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - a, \\ x \ge a. \\ \end{array} \right.$$

5) $$ \left| {f(x)} \right| < k\;\; \Leftrightarrow \;f^2 (x) < k^2 \; \Leftrightarrow \;\left( {f(x) - k} \right) \cdot \left( {f(x) + k} \right) < 0 $$

6) $$\left| {f(x)} \right| \le g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) \le g(x), \\ f(x) \ge - g(x), \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow - g(x) \le f(x) \le g(x)$$

7) $$\left| {f(x)} \right| \ge g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} g(x) < 0, \\ \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} f(x) \ge g(x), \\ f(x) \le - g(x), \\ \end{array} \right. \\ g(x) \ge 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$

8) Неравенства вида $$\left| {f_1 (x)} \right| + \left| {f_2 (x)} \right| \le \left| {f_3 (x)} \right|$$, содержащие алгебраическую сумму двух и более модулей, решают методом промежутков:

  • разобьем числовую ось точками, в которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля.
  • выбирая на этих промежутках контрольные точки, проверяем, удовлетворяется ли на них заданное неравенство или нет.
  • ответом к задаче служит объединение промежутков, где выполняется данное неравенство.
2017-08-08 14:28:16