Обобщенный метод интервалов решения неравенств: неравенства второго типа

Опишем метод интервалов для решения неравенств, не являющихся дробно-рациональными и назовем его обобщенный метод интервалов (ОМИ). Рассмотрим три вида неравенств.

Неравенства второго вида.

Рассмотрим неравенство вида $$ f\left( x \right) \vee g\left( x \right)$$, где f(x) и g(x) - одна из функций: логарифмическая, показательная, иррациональная, тригонометрическая. Обобщенный метод интервалов для неравенства $$ f\left( x \right) \vee g\left( x \right)$$ заключается в следующем: Рассмотрим функцию $$h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)$$ и решим неравенство $$ h\left( x \right) \vee 0 $$

Найдем:

  1. $$ D\left( h \right)$$
  2. $$ N\left( h \right)$$
  3. $$ O\left( h \right) = D\left( h \right)\backslash N\left( h \right) = O_1 \cup O_2 \cup ... \cup O_m $$
  4. Определим знак функции h(x) на каждом промежутке $$O_1 ,\;O_2 ,\;...,\;O_m $$, подставляя удобные значения, принадлежащие каждому промежутку, можно брать и граничные значения.
  5. Выпишем ответ, соответствующий знаку сравнения.

Пример. Решить неравенство $$ \sqrt {x + 2} > x $$.

Решение: Пусть $$ h(x) = \sqrt {x + 2} - x > 0$$.

1. Найдем $$ D(h):x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 2 \Rightarrow D(h) = \left[ { - 2; + \infty } \right) $$

2. Найдем $$ N(h):\sqrt {x + 2} - x = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} = x \Leftrightarrow x + 2 = x^2 ,\;x > 0 \Rightarrow x = - 1 \notin D(h),\quad x = 2 \in D(h) $$

3. Найдем $$ O\left( h \right) = D\left( h \right)\backslash N\left( h \right) = \left[ { - 2;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right) $$

4. Определим знак на промежутках $$ O_1 ,\;O_2 $$:

  • $$ O_1 = \left[ { - 2;2} \right) \Rightarrow x = 0 \in O_1 \Rightarrow h(0) = \sqrt 2 > 0 $$
  • $$ O_2 = \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow x = 7 \in O_2 \Rightarrow h(7) = \sqrt 9 - 7 < 0$$

5. Ответ: $$ \left[ { - 2;2} \right) $$.

2017-01-14 23:38:46