Решение показательных неравенств

В школьном курсе алгебре и начала математического анализа в основном рассматриваются показательные неравенства вида $$ a^{f\left( x \right)} \vee a^{g\left( x \right)}$$, где $$a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$$. При решении неравенств такого вида используется непосредственно монотонность показательной функции, учитывая область определения этой функции. Наиболее рациональное решение считается решение методом равносильных преобразований. Если в процессе решения смысл неравенства должен измениться, то символ $$ \vee $$ меняется на символ $$ \wedge$$. Например, $$\left( { - x} \right) \vee 0 \Leftrightarrow x \wedge 0$$.

Равносильные преобразования показательных неравенств:

1. $$\left\{ \begin{array}{l} a^{f\left( x \right)} \vee a^{g\left( x \right)} ; \\ 0 < a < 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow f(x) \wedge g(x)$$.

2. $$ \left\{ \begin{array}{l} a^{f\left( x \right)} \vee a^{g\left( x \right)} ; \\ a > 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow f(x) \vee g(x)$$.

Замечание. Если основание показательной функции содержит переменную величину, то первое равносильное преобразование это логарифмирование обеих частей неравенства по числовому основанию большего единицы и затем использование схем равносильных преобразований логарифмических неравенств.

$$ h\left( x \right)^{f\left( x \right)} \vee h\left( x \right)^{g\left( x \right)} \Leftrightarrow \log _a h\left( x \right)^{f\left( x \right)} \vee \log _a h\left( x \right)^{g\left( x \right)} \Leftrightarrow \log _a h\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right) \vee 0 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {h\left( x \right) - 1} \right)\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right) \vee 0 $$, О.Д.З.: $$ \left\{ \begin{array}{l} h\left( x \right) > 0; \\ a > 1. \\ \end{array} \right.$$.

Пример. Решите неравенство $$ x^{ - \log _2 x + 4} < \frac{1}{{16}}x $$.

Решение: Прологарифмируем обе части по основанию 2 . Тогда проделав несколько равносильных преобразований неравенство примет вид $$ \log _2 x^{ - \log _2 x + 4} < \log _2 \frac{1}{{16}}x \Leftrightarrow \left( {4 - \log _2 x} \right)\log _2 x < - 4 + \log _2 x $$.

Пусть $$ \log _2 x = t $$, где $$ x > 0 $$, тогда $$ \left( {4 - t} \right)t < - 4 + t \Leftrightarrow \left( {t - 4} \right)\left( {t + 1} \right) > 0 \Rightarrow t \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right) $$.

Вернемся к замене $$ \left\{ \begin{array}{l} \log _2 x < - 1; \\ \log _2 x > 4. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in \left( {0;0,5} \right); \\ x \in \left( {16; + \infty } \right). \\ \end{array} \right. $$ Ответ: $$ \left( {0;0,5} \right) \cup \left( {16; + \infty } \right) $$.

2017-08-08 14:57:23