логин
пароль
 
Забыли пароль?

Основные определения и формулы комплексных чисел

Алгебраическая форма комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид $$ z = a + bi\quad (a \in R,\;b \in R,\;i^2 = - 1)$$

Замечание. Если $$ a = {\mathop{\rm Re}\nolimits} Z \ne 0,\quad b = {\mathop{\rm Im}\nolimits} z \ne 0$$, то число z называется мнимым. Если $$ a = {\mathop{\rm Re}\nolimits} Z = 0,\quad b = {\mathop{\rm Im}\nolimits} z \ne 0$$, то число z называется чисто мнимым

геометрическая интерпритация

Геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая. Кроме того, на действительной прямой "нет места для новых точек", то есть любой точке на действительной оси отвечает действительное число. Следовательно, комплексные числа на этой прямой расположить уже нельзя, однако можно попытаться рассмотреть наряду с действительной осью, на которой мы будем откладывать действительную часть комплексного числа, ещё одну ось, ей перпендикулярную; будем называть её мнимой осью. Тогда любому комплексному числу z = a + ib можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат - мнимую часть. Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Если такое соответствие построено, то координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Интерпритацией комплексного числа z = a + b i является вектор OA с координатами (a,b) с началом в точке O(0,0) и концом в точке A(a,b)

Сопряженные числа. Числа $$ z = a + bi$$ и $$ \bar z = a - bi$$ называются сопряженными комплексными числами

Свойство. Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами: $$ z + \bar z = 2a,\quad z \cdot \bar z = a^2 + b^2$$

Противоположные числа. Числа $$ z = a + bi$$ и $$ - z = - a - bi$$ называются противоположными комплексными числами.

Свойство. Сумма двух противоположных комплексных чисел равна нулю: $$ z + ( - z) = 0 $$

Равные числа. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части.