Действия с комплексными числами, заданных в тригонометрической форме

тригонометрическая форма

Запись комплексного числа z = a + bi в виде $$ z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$$ называется тригонометрической формой комплексного числа.

Модуль комплексного числа: $$r = \sqrt {a^2 + b^2 }$$

Аргумент комплексного числа: $$ \cos \varphi = \frac{a}{r},\quad \sin \varphi = \frac{b}{r}$$

 

Свойство умножения: Произведение двух комплексных чисел $$ z_1 = r_1 \left( {\cos \varphi _1 + i\sin \varphi _1 } \right)$$ и $$z_2 = r_2 \left( {\cos \varphi _2 + i\sin \varphi _2 } \right)$$ будет комплексное число вида $$ z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \left( {cos(\varphi _1 + \varphi _2 ) + i\sin (\varphi _1 + \varphi _2 )} \right)$$

Свойство деления: Частное двух комплексных чисел $$ z_1 = r_1 \left( {\cos \varphi _1 + i\sin \varphi _1 } \right)$$ и $$z_2 = r_2 \left( {\cos \varphi _2 + i\sin \varphi _2 } \right)$$будет комплексное число вида $$\frac{{z_1 }}{{z_2 }} = \frac{{r_1 }}{{r_2 }}\left( {cos(\varphi _1 - \varphi _2 ) + i\sin (\varphi _1 - \varphi _2 )} \right)$$

Свойство возведение в степень: Степень комплексного числа $$ z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$$ будет комплексное число вида $$ \left( {r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)} \right)^n = r^n \left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)$$

Свойство извлечения корня: Корень из комплексного числа $$ z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$$ будет комплексное число вида $$ \sqrt[n]{{r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)}} = \sqrt[n]{r}\left( {\cos \frac{{\varphi + 2\pi k}}{n} + i\sin \frac{{\varphi + 2\pi k}}{n}} \right),\;k = 0;1;2;...;n - 1$$

Формула Муавра : $$ \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^n = \cos n\varphi + i\sin n\varphi $$

2017-01-13 22:23:08