Свойства арифметического корня

Ключевые слова: действия с корнями, подкоренное значение, корень от частного, корень от произведения.

Если $$a \ge 0$$ и n - натуральное число, большее 1, то существует, и только одно, неотрицательное число x такое, что выполняется равенство $$x^{n} = a$$.
Это число x называют арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a и обозначают $$\root n \of {а}$$.
Число a называют подкоренным числом, n - показателем корня.
Если n = 2, то обычно пишут $$\sqrt{а}$$ и называют это выражение квадратным корнем.
Часто вместо термина "корень" употребляют термин "радикал".

  • Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в степень n

    $$ \root m \of {a}=\root m \cdot n \of {a^{n}} $$
  • Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного значения $$ \root m \cdot n \of {a^{n}}= \root m \of {a}$$
  • Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей $$\root m \of {abc...}=\root m \of {a}\root m \of {b}\root m \of {c}... $$
  • Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений $$\root m \of {a}\root m \of {b}\root m \of {c}... = \root m \of {abc...}$$
  • Корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми) $$\root m \of {a:b}=\root m \of {a}:\root m \of {b}$$
  • Обратно, частное корней равно корню от частного $$\root m \of {a}:\root m \of {b}= \root m \of {a:b}$$
  • Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение $$(\root m \of {a})^{n}=\root m \of {a^{n}}$$
  • Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточно возвести в эту степень корень из основания степени $$\root m \of {a^{n}}= (\root m \of {a})^{n}$$