Равносильные замены неравенств, содержащих переменную величину под знаком модуля

Модуль числа. Модуль числа это $$ \left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l} a,{\rm{ }}a \ge 0; \\ - a,{\rm{ }}a < 0. \\ \end{array} \right. $$

Модуль функции. Модуль функции это $$ \left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right),{\rm{ }}f\left( x \right) \ge 0; \\ - f\left( x \right),{\rm{ }}f\left( x \right) < 0. \\ \end{array} \right.$$

Замечание. Соотношения выполняются $$ \left| a \right| \ge 0,\quad \left| a \right| \ge a,\quad \left| a \right|^2 = a^2 ,\quad \left| {ab} \right| = \left| a \right| \cdot \left| b \right|,\quad \left| {\frac{a}{b}} \right| = \frac{{\left| a \right|}}{{\left| b \right|}}$$ и для функций.

Для упрощения выражений содержащих переменную величину под знаком модуля, будем использовать равносильные замены:

  1. $$ \left| {a + b} \right| = \left| a \right| + \left| b \right| \Leftrightarrow a \cdot b \ge 0 $$
  2. $$ \left| {a - b} \right| = \left| a \right| + \left| b \right| \Leftrightarrow a \cdot b \le 0 $$
  3. $$ \left| {a - b} \right| = \left| a \right| - \left| b \right| \Leftrightarrow b \cdot \left( {a - b} \right) \ge 0$$
  4. $$ \left| {a + b} \right| = \left| a \right| - \left| b \right| \Leftrightarrow b \cdot \left( {a + b} \right) \le 0 $$
  5. $$ \left| a \right| + \left| b \right| = a + b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ge 0; \\ b \ge 0. \\ \end{array} \right.$$

Для решения неравенств содержащих переменную величину под знаком модуля, будем использовать равносильные замены:

  1. $$ \left| {a + b} \right| < \left| a \right| + \left| b \right| \Leftrightarrow a \cdot b < 0$$
  2. $$ \left| {a - b} \right| < \left| a \right| + \left| b \right| \Leftrightarrow a \cdot b > 0 $$
  3. $$ \left| a \right| - \left| b \right| < \left| {a + b} \right| \Leftrightarrow b \cdot \left( {a + b} \right) > 0$$
  4. $$ \left| {a - b} \right| > \left| a \right| - \left| b \right| \Leftrightarrow b \cdot \left( {a - b} \right) > 0 $$

Равносильные цепочки преобразований основных базовых сравнений:

$$ f < 0 \Leftrightarrow \frac{f}{{\left| f \right|}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{f}{{\left| f \right|}} + 1 = 0 \Leftrightarrow - \frac{f}{{\left| f \right|}} \ge 0 \Leftrightarrow - f > 0$$
$$ f \le 0 \Leftrightarrow - \sqrt { - f} - 1 < 0 \Leftrightarrow \left| f \right| + f = 0 \Leftrightarrow - f \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt { - f} + 1 > 0 $$
$$ f = 0 \Leftrightarrow - \sqrt { - \left| f \right|} - 1 < 0 \Leftrightarrow \left| f \right| \le 0 \Leftrightarrow - \left| f \right| \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt { - \left| f \right|} + 1 > 0 $$
$$f \ge 0 \Leftrightarrow - \sqrt f - 1 < 0 \Leftrightarrow - f \le 0 \Leftrightarrow \left| f \right| - f = 0 \Leftrightarrow \sqrt f + 1 > 0$$
$$f > 0 \Leftrightarrow - f < 0 \Leftrightarrow - \frac{f}{{\left| f \right|}} < 0 \Leftrightarrow \frac{f}{{\left| f \right|}} - 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{f}{{\left| f \right|}} > 0$$