Система линейных уравнений

Ключевые слова: системы с двумя переменными, системы с тремя неизвестными, метод Гаусса, системы линейных уравнений

Если поставлена задача найти такие числа $$x_{1}, x_{2}, x_{3},..., x_{n}, n \in N$$, которые удовлетворяли бы сразу всем n уравнениям
$$\cases{{f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3},..., x_{n}) = 0}\cr{f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3},..., x_{n}) = 0}\cr{.............................}\cr{f_{n}(x_{1}, x_{2}, x_{3},..., x_{n}=0}}$$
и обращали бы их в верные числовые равенства, то говорят, что задана система из n уравнений с n неизвестными .
В школьной практике, как правило, встречаются системы с двумя и тремя неизвестными, хотя, разумеется, бывают и исключения.

Наиболее распространенным методом решения этих систем является метод последовательного исключения неизвестных ( метод Гаусса ),
который для линейных функций $$f_{1},f_{2},f_{3},...,f_{n}$$ может быть представлен в виде алгоритма, являющегося наиболее общим.

Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений

  • Выражаем первое неизвестное из первого уравнения и подставляем его в остальные уравнения.

  • Получаем новую систему, в которой число уравнений и неизвестных на 1 меньше.

  • С новой системой поступаем таким же образом и так продолжаем до тех пор, пока не останется одно линейное уравнение, которое легко решается.

  • Когда получено значение последнего неизвестного x n , подставляем его в уравнение, которое позволяет найти x n – 1 по x n

  • .По найденным x n – 1 и x n находим x n – 2 и таким образом находим последовательно все неизвестные.

Для систем нелинейных уравнений этот метод не всегда применим уже в силу того, что из уравнений системы совсем не обязательно можно будет выразить одну неизвестную через остальные.


2017-01-14 06:19:30