Равносильные неравенства, содержащие переменную величину или выражение под знаком модуля

Рассмотрим равносильные переходы нескольких часто встречающихся стандартных неравенства содержащих переменную величину или выражение под знаком модуля. Все такие неравенства можно разделить на 8 видов.

$$ \left\{ \begin{array}{l} \left| x \right| < a; \\ a > 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow - a < x < a $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} \left| x \right| > a; \\ a > 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > a \\ x < - a \\ \end{array} \right.$$

$$ \left\{ \begin{array}{l} ax^2 + b\left| x \right| + c > 0, \\ a > 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| x \right| > x_2 = \frac{{ - b + \sqrt D }}{{2a}}; \\ \left| x \right| < x_1 = \frac{{ - b - \sqrt D }}{{2a}}. \\ \end{array} \right.$$

$$ \left\{ \begin{array}{l} ax^2 + b\left| x \right| + c < 0; \\ a > 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - b - \sqrt D }}{{2a}} = x_1 < \left| x \right| < x_2 = \frac{{ - b + \sqrt D }}{{2a}}$$

$$ \left| {f\left( x \right)} \right| \le g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \le g\left( x \right); \\ f\left( x \right) \ge - g\left( x \right). \\ \end{array} \right. $$

$$ \left| {f\left( x \right)} \right| \ge g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) \ge g\left( x \right); \\ f\left( x \right) \le - g\left( x \right). \\ \end{array} \right.$$

$$ \left| {f\left( x \right)} \right| \vee \left| {g\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow f^2 \left( x \right) \vee g^2 \left( x \right)$$

$$ \left| {f\left( x \right)} \right| + \left| {g\left( x \right)} \right| \vee c$$

Для неравенств последнего вида найти равносильное неравенство в общем виде трудно, поэтому рассмотрим, какие равносильные преобразования можно использовать в решении таких неравенств на конкретном примере.

Пример. Решить неравенство $$ \left| {x - 3} \right| + \left| {x + 4} \right| < 8 $$

Решение: Каждое выражение в модуле приравнивают к нулю, т.е. находят нули модулей $$ x - 3 = 0\; \Rightarrow x = 3$$ и $$ x + 4 = 0\; \Rightarrow x = - \,4 $$ Эти числа разделили множество действительных чисел на промежутки. На каждом промежутке определяем знак выражения стоящего под модулем и составляем таблицу знаков:

$$ \left( { - \infty ; - 4} \right) $$
-4
$$ \left( { - 4;3} \right) $$
3
$$ \left( {3; + \infty } \right) $$
$$ x - 3 $$
-
-7
-
0
+
$$ x + 4 $$
-
0
+
7
+

На каждом промежутке с учетом знака выражения стоящего под модулем решаем три неравенства.

1) $$ x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \Rightarrow - \left( {x - 3} \right) - \left( {x + 4} \right) < 8 \Leftrightarrow x > - 4,5 \Rightarrow x \in \left( { - 4,5; - 4} \right) $$

2) $$ x \in \left( { - 4;3} \right) \Rightarrow - \left( {x - 3} \right) + \left( {x + 4} \right) < 8 \Leftrightarrow 7 < 8 $$ $$ \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} \right) $$

3) $$ x \in \left( {3; + \infty } \right) \Rightarrow \left( {x - 3} \right) + \left( {x + 4} \right) < 8 \Leftrightarrow x < 3,5 \Rightarrow x \in \left( {3;3,5} \right) $$

Отдельно рассмотрим решение неравенства в точках, которые называются нули модулей: $$ x = - 4 \Rightarrow 7 < 8 $$ верное неравенство; $$ x = 3 \Rightarrow 7 < 8 $$ верное неравенство.

Ответ: $$ \left( { - 4,5;3,5} \right] $$

2017-01-15 14:00:29