логин
пароль
 
Забыли пароль?

Геометрическая прогрессия (дополнение)

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную.

Предположим, мы хотим обратить периодическую десятичную дробь 0.(7) в обыкновенную.
Рассмотрим эту десятичную дробь в следующем виде: $$ 0,(7) = 0,777... = \frac{7}{{10}} + \frac{7}{{100}} + \frac{7}{{1000}} + \frac{7}{{10000}} + ... $$.
Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой равен 7/10, а разность q = 1/10.
В соответствии с выше приведенной формулой эта сумма равна: $$ \frac{{\frac{7}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{\frac{7}{{10}}}}{{\frac{9}{{10}}}} = \frac{7}{{10}} \cdot \frac{{10}}{9} = \frac{7}{9}$$.
Таким образом, 0.(7) = 7/9.

Решение уравнений, используя сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример. Решите уравнение $$ x^2 - 2x^3 + 4x^4 - 8x^5 + ... = 2x + 1,\quad \left| x \right| < 1 $$

Решение: Упростим левую часть уравнения, применяя формулу $$ S = \frac{{b_1 }}{{1 - q}}$$ суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$$ x^2 - 2x^3 + 4x^4 - 8x^5 + ... = x^2 \left( {1 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + ...} \right) = x^2 \left\langle {b_1 = 1,\quad q = - 2x} \right\rangle = x^2 \frac{1}{{1 - \left( { - 2x} \right)}} = \frac{{x^2 }}{{1 + 2x}} $$.
Тогда уравнение принимает вид $$ \frac{{x^2 }}{{1 + 2x}} = 2x + 1,\quad \left| x \right| < 1 $$.
Решим его: $$ \frac{{x^2 }}{{1 + 2x}} = 2x + 1 \Rightarrow x^2 = \left( {2x + 1} \right)^2 \Rightarrow 3x^2 + 4x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = - 1,\quad x_2 = - \frac{1}{3} $$.
Так как $$\left| x \right| < 1 $$, то корень уравнения будет $$ x_2 = - \frac{1}{3} $$.