Основные методы решения уравнений

Ключевые слова: решение уравнения, тождественное преобразование, тождественные преобразования, посторонний корень, потеря корня.

Решение уравненияэто процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием.

Основные тождественные преобразования:

  • Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) 2 = 15x+10 можно заменить следующим равносильным: 9x2 + 12x + 4 = 15x + 10

  • Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »: 9x2 + 12x + 4 15x – 10 = 0, после чего получим: 9x23x – 6 = 0 .

    Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю. Уравнение x1 = 0 имеет единственный корень x = 1. Умножив обе его части на x3 , мы получим уравнение ( x1 )( x3 ) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3. Последнее значение не является корнем заданного уравнения x1 = 0. Это так называемый посторонний корень. И наоборот, деление может привести к потере корня. Так, если ( x1 )( x3 ) = 0 является исходным уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении обеих частей уравнения на x3 .

  • Можно возвести обе части уравнения в нечетную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечетной степени. Необходимо помнить, что: а) возведение в четную степень может привести к приобретению посторонних корней; б) неправильное извлечение корня четной степени может привести к потере корней.

  • Уравнение 7x = 35 имеет единственный корень x = 5 . Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение: 49x2 = 1225 ,
    имеющее два корня:
    x = 5 и x =5. Последнее значение является посторонним корнем. Неправильное извлечение квадратного корня из обеих
    частей уравнения 49
    x 2 = 1225 даёт в результате 7x = 35,и мы теряем корень x =5. Правильное извлечение квадратного корня приводит к
    уравнению: | 7
    x | = 35, а следовательно, к двум случаям: 1) 7x = 35, тогда x = 5 ; 2) 7x = 35, тогда x =5 .Следовательно, при правильном извлечении квадратного корня мы не теряем корней уравнения.

ОДЗ (областью допустимых значений) уравнения называется множество тех значений неизвестной, при которых определены его правая и левая части.
Очевидно, что вне ОДЗ решений не существует, однако не все числа, входящие в ОДЗ, служат решениями уравнения. Уравнение можно решить и не находя ОДЗ. С другой стороны, верно найденное ОДЗ и последующий отбор корней с его помощью не может гарантировать отсутствие ошибок.

Пример. Решите уравнение $$\sqrt{x^{2}-x} + \sqrt{2 - x - x^{2}} = \sqrt{x} - 1$$

Решение. В этом примере наоборот сложно его решение. Однако поиск ОДЗ приносит несомненную пользу.
В самом деле, ОДЗ: $$\left\{ \begin{array}{l}
x^2 - x \ge 0 \\
2 - x - x^2 \ge 0 \\
x \ge 0
\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right) \\
x \in \left[ { - 2;1} \right] \\
x \in \left[ {0; + \infty } \right)
\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \\
x = 1
\end{array} \right.$$

Значит, ОДЗ нашего уравнения содержит только два числа. А поскольку вне ОДЗ решений быть не может, то корнями нашего уравнения могут быть только эти два числа. Для того чтобы понять, какое из них действительно является решением, нужно полученные числа подставить в уравнение. Подстановка даёт, что x = 0 не является решением уравнения, а x = 1 − является.

Ответ. 1.

Таким образом, к понятию ОДЗ нужно относиться творчески и искать его, только если в этом возникает существенная необходимость. Так, например, в равносильном переходе $$\sqrt {f(x)} = g(x)\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g(x) \ge 0, \\
f(x) = g^2 (x)
\end{array} \right.$$

требование g (x) ? 0 задает ОДЗ. Однако, если искать g (x) очень сложно, то проще подставить найденные корни в исходное уравнение, чем выяснять, при каких x выполнено неравенство g (x) ? 0.

2017-08-07 21:53:34