Решение иррациональных неравенств: методы, приемы, равносильные переходы

1. Неравенство вида: $$ \sqrt {f(x)} < g(x)$$

Решение:

  • если $$g(x) \le 0 $$ - решения нет.
  • если $$ g(x) > 0$$ - решением неравенства $$ \sqrt {f(x)} < g(x)$$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0; \\ g(x) \ge 0; \\ f(x) < g^2 (x). \\ \end{array} \right.$$

2. Неравенство вида:$$ \sqrt {f(x)} \le g(x)$$

Решение:

  • если $$g(x) \le 0 $$ - решения нет.
  • если $$ g(x) \ge 0 $$ - решением неравенства $$ \sqrt {f(x)} \le g(x)$$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0; \\ g(x) \ge 0; \\ f(x) \le g^2 (x). \\ \end{array} \right.$$

3. Неравенство вида: $$ \sqrt {f(x)} > g(x)$$

Решение: Решением неравенства $$ \sqrt {f(x)} > g(x)$$ будет решение равносильной совокупности систем $$ \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0; \\ f(x) > g^2 (x). \\ \end{array} \right.$$ или $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0; \\ g(x) < 0. \\ \end{array} \right.$$

4. Неравенство вида: $$ \sqrt {f(x)} \ge g(x) $$

Решение: Решением неравенства $$ \sqrt {f(x)} \ge g(x) $$ будет решение равносильной совокупности систем $$ \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0; \\ f(x) \ge g^2 (x). \\ \end{array} \right.$$ или $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0; \\ g(x) < 0. \\ \end{array} \right. $$

5. Неравенство вида: $$ \sqrt {f(x)} \cdot g(x) \ge 0$$

Решение: Решением неравенства $$ \sqrt {f(x)} \cdot g(x) \ge 0$$ будет решение равносильной совокупности систем $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0; \\ g(x) \ge 0. \\ \end{array} \right.$$ или $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0; \\ g(x)\, - определена.\, \\ \end{array} \right.$$

6. Неравенство вида: $$ \sqrt {f(x)} \cdot g(x) > 0$$

Решение: Решением неравенства $$ \sqrt {f(x)} \cdot g(x) > 0$$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0; \\ g(x) > 0. \\ \end{array} \right.$$

7. Неравенство вида: $$ \sqrt {f(x)} \cdot g(x) \le 0 $$

Решение: Решением неравенства $$ \sqrt {f(x)} \cdot g(x) \le 0$$ будет решение равносильной совокупности систем $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0; \\ g(x) \le 0. \\ \end{array} \right.$$ или $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0; \\ g(x)\, - \,определена. \\ \end{array} \right.$$

8. Неравенство вида: $$ \sqrt {f(x)} \cdot g(x) < 0$$

Решение: Решением неравенства $$ \sqrt {f(x)} \cdot g(x) < 0$$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0; \\ g(x) < 0. \\ \end{array} \right.$$

9. Неравенство вида: $$ \sqrt[3]{{f(x)}} \ge \sqrt[3]{{g(x)}} $$

Решение: Решением неравенства $$ \sqrt[3]{{f(x)}} \ge \sqrt[3]{{g(x)}} $$ будет решение равносильного ему неравенства $$ f(x) \ge g(x) $$

10. Неравенство вида: $$ \sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}} \ge \sqrt[3]{{f(x) + g(x)}} $$

Решение: Решением неравенства $$ \sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}} \ge \sqrt[3]{{f(x) + g(x)}}$$ будет решение равносильного ему неравенства $$f(x) \cdot g(x) \cdot \left( {f(x) + g(x)} \right) \ge 0$$

2017-01-13 22:43:31