Системы и совокупности уравнений

Система уравнений. Задана система двух уравнений с одной переменной, если требуется найти все значения переменной. при которых оба уравнения системы обращаются в верные равенства.

Решение системы уравнений. Решением системы уравнений называют значение переменной, образующие оба уравнения системы в верные числовые равенства.

Замечание. Стандартное обозначение системы: $$ \left\{ \begin{array}{l} f_1 \left( x \right) = g_1 \left( x \right) \\ f_2 \left( x \right) = g_2 \left( x \right) \\ \end{array} \right.$$

Пример: Решите уравнение $$ \left( {x + 2} \right)^2 + \left( {x - 5} \right)^2 = 0 $$

Решение. Слагаемые левой части данного уравнения неотрицательные, поэтому, равенство возможно, только если каждое слагаемое равно нулю: $$ \left( {x + 2} \right)^2 + \left( {x - 5} \right)^2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x + 2} \right)^2 = 0 \\ \left( {x - 5} \right)^2 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 5 \\ \end{array} \right. $$. Последние два равенства противоречат друг другу, следовательно система не имеет решения и называется несовместимой.

Совокупность уравнений. Задана совокупность двух уравнений с одной переменной, если требуется найти все такие значения переменной, при каждом из которых хотя бы одно из уравнений совокупности обращаются в верное числовое равенство.

Решение совокупности уравнений. Решением совокупности уравнений называют значение переменной, образующее хотя бы одно из уравнений совокупности в верное числовое равенство.

Замечание. Стандартное обозначение совокупности: $$ \left[ \begin{array}{l} f_1 \left( x \right) = g_1 \left( x \right) \\ f_2 \left( x \right) = g_2 \left( x \right) \\ \end{array} \right.$$

Пример: Решить уравнение $$ x^3 + x - 10 = 0$$

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители $$ x^3 + x - 10 = \left( {x^3 - 2x^2 } \right) + \left( {2x^2 - 4x} \right) + \left( {5x - 10} \right) = x^2 \left( {x - 2} \right) + 2x\left( {x - 2} \right) + 5\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x^2 + 2x + 5} \right)$$. Получим уравнение $$ \left( {x - 2} \right)\left( {x^2 + 2x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 0 \\ x^2 + 2x + 5 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ \emptyset \\ \end{array} \right.$$. Второе уравнение совокупности не имеет решения, значит ответ x = 2

2017-01-14 04:14:55