Логарифмические уравнения: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий

Задания
Достаточные знания свойств
Формулы
$$\quad $$ $$\log _3 \left( {\sqrt x + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt x + 1 = 3$$ Определение логарифма $$\quad $$ $$\log _a f(x) = b \Leftrightarrow f(x) = a^b $$
$$\quad $$ $$\lg \left( {2x^2 + 3x} \right) = \lg \left( {6x + 2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x^2 + 3x = 6x + 2, \\ 6x + 2 > 0. \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности логарифмических уравнений $$\log _a f(x) = \log _a g(x)$$ $$\quad $$ $$\log _a f(x) = \log _a g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x), \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) > 0, \\ g(x) > 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\log _{x + 1} \left( {x^2 + x - 6} \right)^2 = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x^2 + x - 6} \right)^2 = \left( {x + 1} \right)^4 \\ x + 1 > 0,\quad x + 1 \ne 1, \\ \left( {x^2 + x - 6} \right)^2 > 0. \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности логарифмических уравнений $$\log _{g(x)} f(x) = b$$ $$\quad $$ $$\log _{g(x)} f(x) = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g^b (x); \\ g(x) > 0,\;f(x) > 0; \\ g(x) \ne 1. \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\log _{\sqrt {x - 4} } \left( {x^2 - x} \right)^2 = \log _{\sqrt {x - 4} } \left( {2x^2 - 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x^2 - x} \right)^2 = \left( {2x^2 - 5} \right), \\ \sqrt {x - 4} > 0,\quad \sqrt {x - 4} \ne 1,\quad \\ \left( {x^2 - x} \right)^2 > 0,2x^2 - 5 > 0. \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности логарифмических уравнений $$\log _{g(x)} f(x) = \log _{g(x)} h(x)$$ $$\quad $$ $$log_{g(x)} f(x) = \log _{g(x)} h(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = h(x); \\ g(x) > 0,\;g(x) \ne 1; \\ f(x) > 0,\;h(x) > 0. \\ \end{array} \right.$$

Пример. Решите уравнение $$\log _7 \left( {3 + x} \right) = 0$$

Решение: $$\log _7 \left( {3 + x} \right) = 0 \Leftrightarrow 3 + x = 7^0 \Leftrightarrow 3 + x = 1 \Leftrightarrow x = - 2$$

Ответ: x = -2

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Свойство логарифма числа: $$\log _a b = c \Leftrightarrow b = a^c ,\quad a > 0,\;\quad a \ne 1,\;\quad b > 0$$.
  • Свойство степени с нулевым показателем: $$a^0 = 1,\quad a \ne 0$$.
  • Свойство равносильности уравнений: $$f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x) \pm k = g(x) \pm k$$.
2017-01-14 12:00:11