логин
пароль
 
Забыли пароль?

Методы решения тригонометрических уравнений

Метод замены переменный и подстановки

Решить уравнение $$ 6\sin ^2 x - 5\sin x + 1 = 0 $$

Решение: Введем новую переменную $$ \sin x = t,\quad \;|t| \le 1$$, получим квадратное уравнение $$ 6t^2 - 5t + 1 = 0 $$. Его корнями являются числа $$ t_1 = \frac{1}{2},\quad t_2 = \frac{1}{3}$$. Дданное уравнение сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям $$ \sin x = \frac{1}{2}\quad 7\quad \sin x = \frac{1}{3} $$. Решая их, находим, что $$ x = ( - 1)^k \frac{\pi }{6} + \pi k,\;\quad k \in Z $$ и $$ x = ( - 1)^n \arcsin \frac{1}{3} + \pi n,\;\quad n \in Z$$ корни уравнения.

Метод равенств одноимённых тригонометрических функций.

Решить уравнение $$ \sin \left( {6x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$$

Решение: Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда $$ 6x - \frac{\pi }{3} = ( - 1)^k \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \pi k,\;\quad k \in Z $$. Решая это уравнение, находим $$ x = \frac{{\frac{\pi }{3} + \left( { - 1} \right)^k \frac{\pi }{4} + \pi k}}{{6 - \left( { - 1} \right)^k 2}},\;\quad k \in Z$$. Если k = 2m - четное число, то корень уравнения находят по формуле $$ x_1 = \frac{7}{{48}}\pi + \frac{{\pi m}}{2},\;\quad m \in Z $$. Если k = 2m + 1 - нечетное число, то корень уравнения находят по формуле $$ x_2 = \frac{{13}}{{96}}\pi + \frac{{\pi t}}{4},\;\quad t \in Z $$

Замечание. Условия равенств одноименных тригонометрических функций, которые пименяются для решения следующих уравнений:

  • $$ \sin x = \sin y \Leftrightarrow x = \left( { - 1} \right)^k y + \pi k,\quad k \in Z $$
  • $$ \cos x = \cos y \Leftrightarrow x = \pm y + 2\pi k,\quad k \in Z $$
  • $$ tgx = tgy \Leftrightarrow x = y + \pi k,\quad k \in Z $$

Метод разложение на множители

Решить уравнение $$ {\rm{cos}}^2 x + \sin x \cdot \cos x = 1$$

Решение: $$ {\rm{cos}}^2 x + \sin x \cdot \cos x = 1 \Leftrightarrow {\rm{cos}}^2 x + \sin x \cdot \cos x - {\rm{cos}}^2 x - \sin ^2 x = 0 \Leftrightarrow \sin x \cdot \cos x - \sin ^2 x = 0 \Leftrightarrow $$ $$ \sin x\left( {\cos x - \sin x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0, \\ \cos x - \sin x = 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0, \\ tgx = 1. \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pi n,\quad n \in Z, \\ x = \frac{\pi }{4} + \pi k,\quad k \in Z. \\ \end{array} \right.$$.

Метод приведение к однородному уравнению

Решить уравнение $$ 3\sin x + 4\cos x = 1 $$

Решение: Используя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество, приводим данное уравнение к половинному аргументу: $$ 3 \cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + 4\cos ^2 \frac{x}{2} - 4\sin ^2 \frac{x}{2} = \sin ^2 \frac{x}{2} + \cos ^2 \frac{x}{2}$$. После приведения подобных слагаемых имеем: $$ 5\sin ^2 \frac{x}{2} - 6\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} - 3\cos ^2 \frac{x}{2} = 0 $$. Разделив однородное последнее уравнение на $$ \cos ^2 \frac{x}{2} \ne 0 $$, получим $$ 5tg^2 \frac{x}{2} - 6tg\frac{x}{2} - 3 = 0$$. Введем новую переменную $$ tg\frac{x}{2} = t $$, получим квадратное уравнение $$ 5t^2 - 6t - 3 = 0 $$, корнями которого являются числа $$ t_{1,2} = \frac{{3 \pm \sqrt {24} }}{5} $$ Таким образом $$ tg\frac{{x_1 }}{2} = \frac{{3 - 2\sqrt 6 }}{5}\quad и\quad tg\frac{{x_2 }}{2} = \frac{{3 + 2\sqrt 6 }}{5} $$. Общее решение можно записать так $$ x_{1,2} = 2arctg\frac{{3 \pm 2\sqrt 6 }}{5} + 2\pi k,\;\quad k \in Z $$

Замечание. Выражение $$ \cos ^2 \frac{x}{2}$$ обращается в нуль при $$ \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + \pi k,\quad k \in Z$$, т.е. при $$ x = \pi + 2\pi k,\quad k \in Z$$. Полученное нами решение уравнения не включает в себя данные числа.

Метод применения свойств функций

Решить уравнение $$ \cos x + \sin \frac{x}{4} = 2 $$

Решение: Так как функции $$ \cos x $$ и $$ \sin \frac{x}{4} $$ имеют наибольшее значение, равное 1, то их сумма равна 2, если $$ \cos x = 1 $$ и $$ \sin \frac{x}{4} = 1$$, одновременно, то есть $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\cos x = 1;} \\ {\sin \frac{x}{4} = 1.} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\pi k,\quad k \in Z; \\ x = 2\pi + 8\pi m,\quad m \in Z. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\pi + 8\pi n,\;\quad n \in Z $$