Иррациональные неравенства: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий

Задания
Достаточные знания свойств
Формулы
$$\quad $$ $$\begin{array}{l} x^2 + \left( {\sqrt {x - 2} } \right)^2 - 10 \le 0 \Leftrightarrow \\ x^2 + x - 2 - 10 \le 0,\;x - 2 \ge 0 \\ \end{array}$$ Свойство корня четной степени $$\left( {\sqrt[{2k}]{a}} \right)^{2k} $$ $$\quad $$ $$\left( {\sqrt[{2k}]{a}} \right)^{2k} = a,\quad a \ge 0$$
$$\quad $$ $$\sqrt {6 - x^2 } > \sqrt { - x} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6 - x^2 > - x, \\ - x \ge 0. \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности неравенства $$\sqrt {f(x)} \ge \sqrt {g(x)} $$ $$\quad $$ $$\sqrt {f(x)} \ge \sqrt {g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge g(x), \\ g(x) \ge 0. \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\sqrt {x^2 - 3x} < 4 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 - x \ge 0, \\ x^2 - 3x \ge 0, \\ x^2 - 3x < \left( {4 - x} \right)^2 \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности неравенства $$\sqrt {f(x)} \le g(x)$$ $$\quad $$ $$\sqrt {f(x)} \le g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0, \\ f(x) \ge 0, \\ f(x) \le g^2 (x) \\ \end{array} \right.$$
$$\quad $$ $$\sqrt {x - 2} > x - 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x - 4 > 0, \\ x - 2 > \left( {x - 4} \right)^2 , \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x - 4 \le 0, \\ x - 2 \ge 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$ Свойство равносильности неравенства $$\sqrt {f(x)} \ge g(x)$$ $$\quad $$ $$\sqrt {f(x)} \ge g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0, \\ f(x) \ge g^2 (x) \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$

Пример. Решите неравенство $$x - \sqrt x - 2 \le 0$$

Решение: Пусть $$\sqrt x = y,\quad y \ge 0$$, тогда $$x = y^2 $$ и $$x - \sqrt x - 2 \le 0 \Leftrightarrow y^2 - y - 2 \le 0$$. Решая последнее неравенство, получим решение $$ - 1 \le y \le 2$$. Вернемся к замене $$ - 1 \le \sqrt x \le 2 \Leftrightarrow 0 \le x \le 4$$.

Ответ: $$x \in \left[ {0;4} \right]$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Методы решения неравенств: замена переменной.
  • Свойство степени арифметического корня: $$(\sqrt[n]{a})^n = a$$.
  • Свойство равносильности иррациональных уравнений: $$\sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0, \\ f(x) = g^2 (x) \\ \end{array} \right.$$.
  • Решение полного квадратного уравнения.
  • Свойство квадратичной функции.
  • Свойства решения квадратичного неравенства: $$ x^2 + px + q \le 0 $$.
  • Равносильность неравенства: $$\sqrt {f(x)} \le a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0, \\ f(x) \le a^2 . \\ \end{array} \right.$$.
  • Равносильность неравенства: $$\sqrt {f(x)} \ge - a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0, \\ f(x) \ge 0. \\ \end{array} \right.\quad $$.
2017-08-08 00:33:57