Геометрическая прогрессия

Ключевые слова: прогрессия, геометрическая, знаменатель прогрессии.

Последовательность $$(b_{n})$$, у которой задан первый член $$b_{1}\ne 0$$, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $$q \ne 0$$, называется геометрической прогрессией: $$b_{n+1}=b_{n} \cdot q$$ , где q - знаменатель прогрессии

  • Если |q| > 1, то прогрессия называется возрастающей. Если |q| < 1, то прогрессия называется убывающей.
  • Геометрическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов

Формулы геометрической прогрессии

  • $$b_{n}= b_{1} \cdot q^{n-1}$$ - формула n-го члена геометрической прогрессии.
  • $$b_{n}= b_{k} \cdot q^{n-k}$$ - формула n-го члена геометрической прогрессии через k-й член прогрессии.
  • $$b^{2}_{n}= b_{n -1} \cdot b_{n +1}$$ - характеристическое свойство геометрической прогрессии для трех последовательных чисел.
  • $$b_{n} \cdot b_{m} = b_{k} \cdot b_{l}$$ - характеристическое свойство геометрической прогрессии для четырех чисел, если n + m = k + l

Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии

  • $$S_{n}= \frac{b_{n} \cdot q - b_{1}}{q-1}$$
  • $$S_{n}= \frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$$

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии

  • $$S= \frac{b_{1}}{1-q},\quad|q|<1 $$

См. также:
Арифметическая прогрессия