Метод интервалов для решения рациональных неравенств

Решая квадратные неравенства, мы использовали метод интервалов. Покажем, что методом интервалов можно решать рациональные и дробно-рациональные неравенства.

Рассмотрим неравенство вида $$f\left( x \right) \vee 0 $$, где символ $$\vee $$ можно заменить одним из знаков сравнения: $$ < ,\quad \; > ,\;\quad \le ,\;\quad \ge $$ и $$ f\left( x \right) $$- рациональное выражение областью определения, которой является множество действительных чисел.

Для решения неравенств методом интервалов необходимо:

а) Разложить выражение $$ f\left( x \right) $$ на множители канонического вида (количество множителей может быть любым, но обязательно в разностях каждого множителя всегда является уменьшаемым и коэффициенты при переменной должны быть положительными). Пусть, например, $$ f\left( x \right) = \left( {x - a} \right) \cdot \left( {x - b} \right) \cdot \left( {x - c} \right) \cdot \left( {x - d} \right)$$, где $$ D\left( f \right) = \left( { - \infty ; + \infty } \right) $$.

Замечание: если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, не четное, то знак сравнения решаемого неравенства меняется на противоположный. Но если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, четное, то знак сравнения решаемого неравенства остается тем же.

б) Найти все корни выражения, решив уравнение $$ f\left( x \right) = 0$$. В нашем случае будут корни $$ x = a,\quad x = b,\quad x = c,\quad x = d $$.

в) Отметить на числовой оси корни уравнения в порядке возрастания. Мы отмечаем числа $$ a,\;b,\;c,\;d $$. Пусть для удобства $$b < a < c < d$$. Эти числа разбивают числовую ось на 5 интервалов. На каждом из этих интервалов рациональное выражение сохраняет знак, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный.

неравенство 4

г) Расставить знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Так как все множители имеют канонический вид, то над правым интервалом всегда ставится знак <+> и далее знаки чередуются.

нераваенство 5

д) Выписать ответы неравенства в виде интервалов по схеме:

  • Если $$ f\left( x \right) < 0 $$, то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение $$ f\left( x \right) $$ сохраняет знак <->, а граничные точки интервалов не входят в ответ, так как знак сравнения неравенства строгий. В нашем случае ответ $$ x \in \left( {b;a} \right) \cup \left( {c;d} \right)$$.
  • Если $$ f\left( x \right) > 0 $$, то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение $$ f\left( x \right) $$ сохраняет знак <+>, а граничные точки интервалов не входят в ответ, так как знак сравнения неравенства строгий. В нашем случае ответ $$ x \in \left( { - \infty ;b} \right) \cup \left( {a;c} \right) \cup \left( {d; + \infty } \right) $$.
  • Если $$f\left( x \right) \le 0$$, то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение $$ f\left( x \right) $$ сохраняет знак <->, а граничные интервалов точки входят в ответ, так как знак сравнения неравенства не строгий. В нашем случае ответ $$ x \in \left[ {b;a} \right] \cup \left[ {c;d} \right]$$.
  • Если $$ f\left( x \right) \ge 0$$, то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение $$ f\left( x \right) $$ сохраняет знак <+>, а граничные точки интервалов входят в ответ, так как знак сравнения неравенства не строгий. В нашем случае ответ $$ x \in \left( { - \infty ;b} \right] \cup \left[ {a;c} \right] \cup \left[ {d; + \infty } \right) $$.
2017-01-14 10:35:19