Решение рациональных неравенств методом интервалов

Пример 1. Решите неравенство $$ f\left( x \right) < 0 $$: $$ \left( {x^2 - 9} \right) \cdot \left( {2x - 3} \right) < 0$$

Решение:

а) $$ \left( {x^2 - 9} \right) \cdot \left( {2x - 3} \right) = $$ $$ \left( {x - 3} \right) \cdot \left( {x + 3} \right) \cdot \left( {2x - 3} \right) $$

б) $$ \left( {x - 3} \right) \cdot \left( {x + 3} \right) \cdot \left( {2x - 3} \right) = 0 \Rightarrow x = 3,\quad x = - 3,\quad x = 1,5 $$

в, г) объединим одним рисунком

неравенство 5

Замечание: На числовой оси точки показаны светлыми кружочками, так как знак сравнения неравенства строгий и числа соответствующие этим точкам не являются решением неравенства.

д) Ответ: $$ x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1,5;3} \right) $$

Пример 2. Решите неравенство $$ f\left( x \right) \ge 0 $$: $$ \left( {1 - x^2 } \right) \cdot \left( {3 - 5x} \right) \ge 0 $$

Решение:

а) $$ \left( {1 - x^2 } \right) \cdot \left( {3 - 5x} \right) = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)\left( {3 - 5x} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {1 + x} \right)\left( {5x - 3} \right) $$

Замечание: Так как количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, четное, то знак сравнения решаемого неравенства остается тем же.

б) $$ \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x + 1} \right) \cdot \left( {5x - 3} \right) = 0 \Rightarrow x = 1,\quad x = - 1,\quad x = 0,6 $$

в, г) объединим одним рисунком

неравенство 6

Замечание: На числовой оси точки показаны темными кружочками, так как знак сравнения неравенства нестрогий и числа соответствующие этим точкам являются решением неравенства.

д) Ответ: $$ x \in \left[ { - 1;0,6} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right) $$

Пример 3. Решите неравенство $$ f\left( x \right) \le 0$$: $$ \left( {2x + 7} \right) \cdot \left( {16 - x^2 } \right) \le 0$$

Решение:

а) Разложим на множители выражение $$ \left( {2x + 7} \right) \cdot \left( {16 - x^2 } \right) = \left( {2x + 7} \right)\left( {4 - x} \right)\left( {4 + x} \right) = \left( {2x + 7} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {4 + x} \right)$$

Замечание: Так как количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, нечетное, то знак сравнения решаемого неравенства меняется на противоположный и теперь ответ выписывается неравенство вида $$ f\left( x \right) \ge 0$$

б) $$ \left( {x - 4} \right) \cdot \left( {x + 4} \right) \cdot \left( {2x + 7} \right) = 0 \Rightarrow x = 4,\quad x = - 4,\quad x = - 3,5$$

в, г) объединим одним рисунком

неравенство 6

д) Ответ: $$ x \in \left[ { - 4; - 3,5} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)$$

Пример 4. Решите неравенство $$ f\left( x \right) > 0$$ $$\left( {x^2 - 4} \right) \cdot \left( {4x^2 - 1} \right) > 0$$

Решение:

а) Разложим на множители выражение $$ \left( {x^2 - 4} \right) \cdot \left( {4x^2 - 1} \right) = \left( {x - 2} \right) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {2x - 1} \right) \cdot \left( {2x + 1} \right) $$

б) $$ \left( {x - 2} \right) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {2x - 1} \right) \cdot \left( {2x + 1} \right) = 0 \Rightarrow x = 2,\quad x = - 2,\quad x = 0,5,\quad x = - 0,5 $$

в, г) объединим одним рисунком

неравенство 7

д) Ответ: $$ x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 0,5;0,5} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$$

2017-08-08 14:37:42