Формула дополнительного угла

Ключевые слова: тригонометрия, синус, косинус, тангенс, котангенс

Любое выражение вида $$a sin \alpha + b cos\alpha$$ можно представить в виде
$$A sin( \alpha + \phi)$$.

Для этого вынесем за скобки выражение $$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$$: $$a sin\alpha + b cos\alpha = \sqrt{a^{2} + b^{2}}( \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cdot sin\alpha + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cdot cos\alpha)$$.
Но $$(\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})^{2} + (\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})^{2} = 1$$.
Это значит, что точка с координатами $$\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$ и $$\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$ удовлетворяет уравнению x2 + y2 = 1, т.е. лежит на числовой окружности.
Поэтому существует такое $$\phi$$, что $$\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = cos\phi, \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = sin \phi$$.
Обозначим $$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$$ через A, получим $$a sin \alpha + b cos\alpha = A (cos \phi \cdot sin \alpha + sin\phi \cdot cos\alpha)= A sin(\alpha + \phi)$$.

Итак, формула дополнительного угла:

2017-01-13 23:04:48