Свойство 2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, большее нуля, определенное на ОДЗ исходного неравенства, то получиться неравенство, равносильное данному неравенству. Т.е. $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) > g(x) \\ t(x) > 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) \cdot t(x) > g(x) \cdot t(x), \\ x \in ОДЗ \\ \end{array} \right.$$
Замечание. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получиться неравенство, равносильное данному неравенству.
Свойство 3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, меньшее нуля, определенное на ОДЗ исходного неравенства,а затем поменять знак неравенства на противоположный, то получиться неравенство, равносильное данному неравенству. Т.е. $$
\left\{ \begin{array}{l}f(x) > g(x) \\
t(x) < 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) \cdot t(x) < g(x) \cdot t(x), \\
x \in ОДЗ \\
\end{array} \right.$$
Замечание. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, а затем поменять знак неравенства на противоположный, то получиться неравенство, равносильное данному неравенству.
Пример: Решите неравенство $$ \left( {x - 6} \right)^2 > \left( {x - 4} \right)^2 $$
Решение. Преобразуем исходное неравенство и получим $$
\left( {x - 6} \right)^2 > \left( {x - 4} \right)^2 \Leftrightarrow \left( {x - 6} \right)^2 - \left( {x - 4} \right)^2 > 0 \Leftrightarrow - 4x + 20 > 0 \Leftrightarrow x < 5
$$ . Ответ: $$
x \in \left( { - \infty ;5} \right)
$$
Замечание.