Основные свойства равносильности неравенств

Свойство 1. Если к обеем частям неравенства прибавить одно и то же выражение, определенное на ОДЗ исходного неравенства, то получиться неравенство, равносильное данному неравенству. Т.е. $$f(x) > g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) + t(x) > g(x) + t(x), \\ x \in ОДЗ \\ \end{array} \right.$$

Замечание.

  • Если перенести слагаемые из одной части неравенства в другую, то получиться неравенство, равносильное исходному.
  • Требование к $$ x \in ОДЗ$$ в следствии существенно.
  • Если функция $$ t(x)$$ определена не для всех $$ x \in ОДЗ$$, то равносильность нарушена, и преобразование может привести к потере корней.

Свойство 2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, большее нуля, определенное на ОДЗ исходного неравенства, то получиться неравенство, равносильное данному неравенству. Т.е. $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) > g(x) \\ t(x) > 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) \cdot t(x) > g(x) \cdot t(x), \\ x \in ОДЗ \\ \end{array} \right.$$

Замечание. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получиться неравенство, равносильное данному неравенству.

Свойство 3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, меньшее нуля, определенное на ОДЗ исходного неравенства,а затем поменять знак неравенства на противоположный, то получиться неравенство, равносильное данному неравенству. Т.е. $$ \left\{ \begin{array}{l}f(x) > g(x) \\ t(x) < 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) \cdot t(x) < g(x) \cdot t(x), \\ x \in ОДЗ \\ \end{array} \right.$$

Замечание. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, а затем поменять знак неравенства на противоположный, то получиться неравенство, равносильное данному неравенству.

Пример: Решите неравенство $$ \left( {x - 6} \right)^2 > \left( {x - 4} \right)^2 $$

Решение. Преобразуем исходное неравенство и получим $$ \left( {x - 6} \right)^2 > \left( {x - 4} \right)^2 \Leftrightarrow \left( {x - 6} \right)^2 - \left( {x - 4} \right)^2 > 0 \Leftrightarrow - 4x + 20 > 0 \Leftrightarrow x < 5 $$ . Ответ: $$ x \in \left( { - \infty ;5} \right)
$$

2017-08-08 00:49:32