Решение неравенств, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы

1. Неравенство вида $$ \left| {f(x)} \right| \le a $$

Решение:

  • если a < 0 - решения нет.
  • если a = 0 - решением неравенства $$ \left| {f(x)} \right| \le a $$ будет решение уравнения f(x) = 0.
  • если a > 0 - решением неравенства $$ \left| {f(x)} \right| \le a $$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) \le a; \\ f(x) \ge - a. \\ \end{array} \right. $$

2. Неравенство вида $$ \left| {f(x)} \right| < a$$

Решение:

  • если a < 0 - решения нет.
  • если a = 0 - решения нет.
  • если a > 0 - решением неравенства $$ \left| {f(x)} \right| < a$$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) < a; \\ f(x) > - a. \\ \end{array} \right.$$

3. Неравенство вида $$ \left| {f(x)} \right| \ge a $$

Решение:

  • если a < 0 - неравенство $$ \left| {f(x)} \right| \ge a $$ верно для любых х из области определения f(x).
  • если a = 0 - неравенство $$ \left| {f(x)} \right| \ge a $$ верно для любых х из области определения f(x).
  • если a > 0 - решением неравенства $$ \left| {f(x)} \right| \ge a $$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \begin{array}{l} f(x) \ge a; \\ f(x) \le - a. \\ \end{array} \right.$$

4. Неравенство вида $$ \left| {f(x)} \right| > a$$

Решение:

  • если a < 0 - неравенство $$ \left| {f(x)} \right| > a$$ верно для любых х из области определения f(x).
  • если a = 0 - решением неравенства $$ \left| {f(x)} \right| > a$$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ne 0; \\ x \in D(f). \\ \end{array} \right. $$
  • если a > 0 - решением неравенства $$ \left| {f(x)} \right| > a$$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) > a; \\ f(x) < - a. \\ \end{array} \right.$$

5. Неравенство вида $$\left| {f(x)} \right| < g(x) $$

Решение:

  • если g(x) < 0 - решения нет.
  • если g(x) = 0 - решения нет.
  • если g(x) > 0 - решением неравенства $$\left| {f(x)} \right| < g(x) $$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) < g(x); \\ f(x) > - g(x). \\ \end{array} \right. $$

6. Неравенство вида $$ \left| {f(x)} \right| \le g(x) $$

Решение:

  • если g(x) < 0 - решения нет.
  • если g(x) = 0 - решением неравенства $$ \left| {f(x)} \right| \le g(x) $$ будет решение уравнения f(x) = 0.
  • если g(x) > 0 - решением неравенства $$ \left| {f(x)} \right| \le g(x) $$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) \le g(x); \\ f(x) \ge - g(x). \\ \end{array} \right.$$

7. Неравенство вида $$ \left| {f(x)} \right| > g(x)$$

Решение:

  • если g(x) < 0 - неравенство $$ \left| {f(x)} \right| > g(x)$$ верно для любых х из области определения f(x) и g(x).
  • если g(x) = 0 - решением неравенства $$ \left| {f(x)} \right| > g(x)$$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ne 0; \\ x \in D(f); \\ x \in D(g). \\ \end{array} \right.$$
  • если g(x) > 0 - решением неравенства $$ \left| {f(x)} \right| > g(x)$$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \begin{array}{l} f(x) > g(x), \\ f(x) < - g(x). \\ \end{array} \right.$$

8. Неравенство вида $$ \left| {f(x)} \right| \ge g(x)$$

Решение:

  • если g(x) < 0 - неравенство $$ \left| {f(x)} \right| \ge g(x)$$ верно для любых х из области определения f(x) и g(x).
  • если g(x) = 0 - неравенство $$ \left| {f(x)} \right| \ge g(x)$$ верно для любых х из области определения f(x) и g(x).
  • если g(x) > 0 - решением неравенства $$ \left| {f(x)} \right| \ge g(x)$$ будет решение равносильной совокупности $$ \left[ \begin{array}{l} f(x) \ge g(x), \\ f(x) \le - g(x). \\ \end{array} \right.$$

9. Неравенство вида $$ \left| {f(x)} \right| \vee \left| {g(x)} \right| $$

Решение: Возвести обе части неравенства $$ \left| {f(x)} \right| \vee \left| {g(x)} \right| $$ в квадрат, разложить на множители по формуле разности квадратов и применить метод интервалов.

Замечание. Решение выглядет так: $$ \left| {f(x)} \right| \vee \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left( {\left| {f(x)} \right|} \right)^2 \vee \left( {\left| {g(x)} \right|} \right)^2 \Leftrightarrow f^2 (x) \vee g^2 (x) \Leftrightarrow f^2 (x) - g^2 (x) \vee 0 \Leftrightarrow \left( {f(x) - g(x)} \right)\left( {f(x) - g(x)} \right) \vee 0$$
2017-08-07 20:19:16