Преобразование дробно-иррациональных выражений: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий

Задания
Достаточные знания
Формулы
$$\quad $$ $$a^{\frac{2}{3}} - 16 = (a^{\frac{1}{3}} )^2 - 4^2 $$ Свойство степени $$\left( {a^{\frac{m}{n}} } \right)^k $$ , основанием которой является степень с дробным показателем $$\quad $$ $$\begin{array}{l} a^{\frac{{m \cdot k}}{n}} = \left( {a^{\frac{m}{n}} } \right)^k ,\; \\ a > 0,n \in N \\ \end{array}$$
$$\quad $$ $$(a^{\frac{1}{3}} )^2 - 4^2 = \left( {a^{\frac{1}{3}} - 4} \right)\left( {a^{\frac{1}{3}} + 4} \right)$$ Формулы разложения на множители квадратного двучлена $$a^2 - b^2 $$ $$\quad $$ $$a^2 - b^2 = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$$
$$\quad $$ $$\frac{{\left( {a^{\frac{1}{3}} } \right)^2 - 4^2 }}{{a^{\frac{1}{3}} - 4}} = \frac{{\left( {a^{\frac{1}{3}} - 4} \right)\left( {a^{\frac{1}{3}} + 4} \right)}}{{a^{\frac{1}{3}} - 4}} = a^{\frac{1}{3}} + 4$$ Основное свойство дроби $$\frac{a}{b}$$ $$\quad $$ $$\begin{array}{l} \frac{a}{b} = \frac{{a:m}}{{b:m}} = \frac{{a \cdot k}}{{b \cdot k}}, \\ k,m \ne 0 \\ \end{array}$$
$$\quad $$ $$\frac{{25 - \sqrt x }}{{5 + \sqrt[4]{x}}} = \frac{{5^2 - \left( {\sqrt[4]{x}} \right)^2 }}{{5 + \sqrt[4]{x}}}$$ Свойство степени корня $$\left( {\sqrt[{m \cdot n}]{a}} \right)^m $$ $$\quad $$ $$\begin{array}{l} \sqrt[n]{a} = \sqrt[{m \cdot n}]{{a^m }} = \left( {\sqrt[{m \cdot n}]{a}} \right)^m , \\ m,n \in N \\ \end{array}$$
$$\quad $$ $$\frac{{\sqrt[3]{{z^2 }} - 9}}{{\sqrt[3]{z} + 3}} - z^{\frac{1}{3}} = \frac{{\left( {\sqrt[3]{{\left| z \right|}}} \right)^2 - 3^2 }}{{\sqrt[3]{z} + 3}} - z^{\frac{1}{3}} $$ Свойство арифметического корня $$\sqrt[n]{{a^{2m} }}$$ из степени с четным показателем $$\quad $$ $$\begin{array}{l} \sqrt[n]{{a^{2m} }} = \left( {\sqrt[n]{{\left| a \right|}}} \right)^{2m} , \\ a \in R,\;n \ge 2,\;n \in N \\ \end{array}$$

Пример. Упростите выражение $$\frac{{x - y}}{{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} }} + y^{\frac{1}{3}} $$

Решение: $$\frac{{x - y}}{{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} }} + y^{\frac{1}{3}} = \frac{{x^{3 \cdot \frac{1}{3}} - y^{3 \cdot \frac{1}{3}} }}{{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} }} + y^{\frac{1}{3}} = $$ $$\frac{{\left( {x^{\frac{1}{3}} } \right)^3 - \left( {y^{\frac{1}{3}} } \right)^3 }}{{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} }} + y^{\frac{1}{3}} = $$ $$\frac{{\left( {x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} } \right)\left( {x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} } \right)}}{{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} }} + y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Свойство степени $$\left( {a^m } \right)^n $$ с основанием степени $$a^m $$: $$a^{m \cdot n} = \left( {a^m } \right)^n = \left( {a^n } \right)^m ,a > 0$$
  • Формулы разложения на множители кубического двучлена $$a^3 \pm b^3 $$: $$a^3 \pm b^3 = \left( {a \pm b} \right) \cdot \left( {a^2 \mp ab + b^2 } \right)$$
  • Основное свойство дроби $$\frac{a}{b}$$ : $$\frac{a}{b} = \frac{{a:m}}{{b:m}} = \frac{{a \cdot k}}{{b \cdot k}},\quad k,m \ne 0$$
2017-01-14 12:09:52