Показательная функция

Ключевые слова: функция, показательная функция, график, степень, основание степени

При a > 0, a $$\ne$$ 1, определена функция y = a x , отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a.

Основные свойства показательной функции y = a x при a > 1:

  • Область определения функции - вся числовая прямая.
  • Область значений функции - промежуток $$(0;+ \infty)$$.
  • Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x1< x2 , то ax1 < ax2 .
  • При x = 0 значение функции равно 1.
  • Если x > 0 , то a x > 1 и если x < 0, то 0 < a < 1.

Графики показательных функций с основанием 0 < a < 1 и a > 1 изображены на рисунке.

Основные свойства показательной функции y = a x при 0 < a < 1:

  • Область определения функции - вся числовая прямая.
  • Область значений функции - промежуток $$(0;+ \infty)$$.
  • Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x1< x2 , то ax1 > ax2 .
  • При x = 0 значение функции равно 1.
  • Если x > 0 , то 0 < a < 1 и если x < 0, то a x > 1.
  • К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при a > 1 относятся:

    • ax1 ax2 = ax1+ x2, для всех x1 и x2.
    • $$a ^{-x}= (a^{x})^{-1}= \frac{1}{a^{x}}$$ для любого x.
    • $$\root n \of {a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$$ для любого x и любого $$n \in N, n \ne 1$$.
    • (ab)x = ax bx для любых a, b > 0; a,b$$\ne 1$$.
    • $$(\frac{a}{b})^{x}= \frac{a^{x}}{b^{x}}$$ для любых a, b > 0; a,b$$\ne 1$$.
    • ax1 = ax2, то x1 = x2.

См. также:
Свойства элементарных функций, Исследование графика функции, Исследование функции, Логарифмическая функция

2017-01-13 22:28:36