Схема Горнера

Теорема: Пусть несократимая дробь $$ \frac{p}{q}$$ является корнем уравнения $$a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + ... + a_{n - 1} x + a_n = 0$$ c целыми коэффициентами, тогда число q является делителем старшего коэффициента $$a_0$$, а число р является делителем свободного члена $$a_n$$.

Замечание 1 . Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Замечание 2 .Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют - целые.

Корень многочлена. Корнем многочлена $$f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + ... + a_{n - 1} x + a_n $$ является x = c , такое, что f(c)=0 .

Замечание 3. Если x = c корень многочлена $$f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + ... + a_{n - 1} x + a_n $$, то многочлен можно записать в виде : $$f(x) = (x - c)q(x)$$, где $$q(x) = b_0 x^{n - 1} + b_1 x^{n - 2} + ... + b_{n - 2} x + b_{n - 1}$$ это частное от деления многочлена f(x) на одночлен x - c

Деление многочлена на одночлен можно выполнить по схеме Горнера:

Если $$f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + ... + a_{n - 1} x + a_n $$, $$a_0 \ne 0$$, $$g(x) = x - c$$, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид $$q(x) = b_0 x^{n - 1} + b_1 x^{n - 2} + ... + b_{n - 2} x + b_{n - 1} $$, где $$b_0 = a_0 $$, $$b_k = c \cdot b_{k - 1} + a_k $$,$$k = 1,2,...,n - 1$$. Остаток r находится по формуле $$r = c \cdot b_{n - 1} + a_n $$

 
$$a_0 $$
$$a_1 $$
$$a_2 $$
...
$$a_n-1 $$
$$a_n $$
x = c
$$b_0 = a_0 $$
$$b_1 = c \cdot b_0 + a_1 $$
$$b_2 = c \cdot b_1 + a_2 $$
...
$$b_{n - 1} = c \cdot b_{n - 2} + a_{n - 1} $$
$$r = f(c) = c \cdot b_{n - 1} + a_n $$

В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена f(х). Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0. Всегда старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого $$b_0 = a_0 $$. Если x = c является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0, т.е. остаток от деления будет равен нулю.

Пример. Решить уравнение $$x^3 - x^2 - 8x + 12 = 0$$

Решение: Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые корни уравнения надо искать среди делителей свободного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения:

 
$$a_0 =1$$
$$a_1 =-1 $$
$$a_2 =-8 $$
$$a_3 =12$$
 
x = 1
1
0
-8
4
не корень
x = -1
1
-2
-6
18
не корень
x = 2
1
1
-6
0
корень

Если один корень подобран по схеме Горнера. то можно дальше решать так $$x^3 - x^2 - 8x + 12 = \left( {x - 2} \right)\left( {x^2 + x - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)^2 \left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2; \\ x = 3 \\ \end{array} \right.$$

Ответ: x =2, x =3 .

2017-01-13 23:28:17