Классические средние

Среднее арифметическое. Среднее арифметическое n чисел, является их сумма, деленная на n : $$ M(x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = \frac{{x_1 + x_2 + ... + x_n }}{n}$$

Среднее геометрическое. Среднее геометрическое n чисел, является корень n-ой степени из произведения этих чисел: $$ M(x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = \sqrt[n]{{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n }}$$

Среднее гармоническое. Средним гармоническим нескольких положительных чисел называется число, обратное среднему арифметическому их обратных чисел: $$ M(x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = \frac{n}{{\frac{1}{{x_1 }} + \frac{1}{{x_2 }} + ... + \frac{1}{{x_n }}}}$$

Среднее квадратическое. Средним квадратическим (квадратичным) числом называется число M, равное квадратному корню из среднего арифметического квадратов данных неотрицательных чисел $$ x_1 ,x_2 ,...,x_n $$: $$ M(x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = \sqrt {\frac{{x_1 ^2 + x_2 ^2 + ... + x_n ^2 }}{n}}$$

Среднее степенное. Среднее степенное положительных вещественных чисел $$ x_1 ,x_2 ,...,x_n $$ определяется как $$ M(x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = \sqrt[m]{{\frac{{x_1 ^m + x_2 ^m + ... + x_n ^m }}{n}}}$$

Среднее взвешанное. Среднее взвешенное или среднее арифметическое взвешенное набора вещественных чисел $$ x_1 ,x_2 ,...,x_n $$ с вещественными весами $$ m_1 ,m_2 ,...,m_n $$ определяется как $$ \bar M(x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = \frac{{x_1 \cdot m_1 + x_2 \cdot m_2 + ... + x_n \cdot m_n }}{{m_1 + m_2 + ... + m_n }}$$

Свойство средних величин. Если для $$ {\rm{x}}_{\rm{1}} {\rm{, x}}_{\rm{2}} ,...,{\rm{ x}}_{\rm{n}}$$ существуют все средние величины, то для них всегда верно неравенство: M(гармоническое)$$ \le $$ M(геометрическое)$$ \le $$ M(арифметическое) $$ \le $$M(квадратическое)

2017-01-15 18:13:54