Алгебраические преобразования

Ключевые слова: алгебраические преобразования, законы действий над числами, дробные выражения, проценты, пропорциональность, степени, корни.

Законы действий над числами

  • Переместительный закон сложения: a + b = b + a.
  • Сочетательный закон сложения: (a + b) + с = a + (b + c).
  • Переместительный закон умножения: a b = b a.
  • Сочетательный закон умножения: (a b) с = a (b c).
  • Распределительный закон умножения относительно сложения: (a + b) с = a с + b с.
  • Распределительный закон умножения относительно вычитания: (a - b) с = a с - b с.

Дробные выражения

Основное свойство дроби: $$\frac{a \cdot c}{b \cdot c}=\frac{a}{b}$$, $$b\ne0, c\ne0$$

Действия с дробями (предполагается, что знаменатели дробей отличны от нуля):

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}, \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd},$$ $$\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{ad}{dc},$$ $$-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}, (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$$

Проценты

Процент - одна сотая часть числа.
  • Нахождение p % числа A: $$B = \frac{Ap}{100}$$
  • Нахождение числа A, если p % его равны B: $$A = \frac{B100}{p}$$

Пропорциональность

Пропорция - равенство двух отношений $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$, $$b\ne0, d\ne0$$ (a, d - крайние члены пропорции; b, c - средние члены пропорции).
  • Основное свойство пропорции: ad = bc. Выражение члена пропорции через остальные: $$a = \frac{bc}{d}, c = \frac{ad}{b}, b = \frac{ad}{c}, d = \frac{bc}{a}$$

Если истинна пропорция $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$ то истинны и следующие пропорции:

$$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$$ $$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$$ $$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$$ $$\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$$

$$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$$ $$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$$ $$\frac{a+b}{a} = \frac{c+d}{c}$$ $$\frac{a-b}{a} = \frac{c-d}{c}$$
  • Прямая пропорциональность - функция, заданная формулой $$y=kx, k\ne0$$, где k - коэффициент пропорциональности; y, x - пропорциональные переменные.
  • Свойство прямой пропорциональности: $$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}}$$
  • Обратная пропорциональность - функция, заданная формулой $$y = \frac{k}{x}, k\ne0, x\ne0$$
  • Свойство обратной пропорциональности: $$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{2}}{y_{1}}$$

Степени и корни

Степень с целым показателем

$$a^{n} = a \cdot a a \cdot a ....a$$ (n раз, $$n \in N, n \ne 1$$

$$a^{1} = a$$ $$a^{0} = 1 (a\ne0)$$ $$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} (a\ne0)$$

Свойства:

$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$

$$(a^{m})^{n} = x^{m \cdot n}$$

$$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$$

$$(ab)^{m} = a^{m} b^{m}$$

$$(\frac{a}{b})^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$$