Исследование функции элементарными методами

Рассмотрим функцию $$y = f(x)$$.

Исследование функций с помощью свойств.

1. Область определения функции - ОДЗ: функция может быть определенна на промежутках $$\left( {a;b} \right),\;\left[ {a;b} \right],\;\left( { - \infty ; + \infty } \right),\;\left( { - \infty ;b} \right),\;\left( {a; + \infty } \right)$$ .

2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность: график четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат: на оси ОХ точка $$\left( {x_0 ;y_0 = f(x_0 ) = 0} \right)$$ и на оси ОY точка $$\left( {0;y_0 = f(0)} \right)$$

4. Нахождение промежутков знакопостоянства функции: промежутки, где функция принимает положительные или отрицательные значения, т.е. $$f(x) > 0$$ или $$f(x) < 0$$.

5. Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва: точки разрыва определяют наличие вертикальной асимптоты, при исследовании поведения функции на бесконечности определяют наличие наклонной асимптоты или горизонтальной, как частный случай наклонной асимптоты.

Исследование функций с помощью производной.

Если функция дифференцируема на промежутке ОДЗ, за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то можно дополнить изучение поведения функции исследованием на экстремум (точки максимума и точки минимума функции имеют общее название - точки экстремума)

6. Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек

7. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума: для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков области определения функции, на которые разбивают критические точки.

Исследование функций с помощью второй производной.

Если функция дважды дифференцируема на промежутке ОДЗ, за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то исследование поведения функции можно дополнить исследованием выпуклости и вогнутости.

8. Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба: точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки. Если вторая производная на полученном промежутке положительна, то график функции имеет выпуклость вниз, если - отрицательна, то график функции имеет выпуклость вверх. Если при переходе через точку, в которой вторая производная равна нулю или не существует, вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.

2017-08-08 04:09:11