Схемы равносильных преобразований логарифмических неравенств

Полный перечень схем равносильных преобразований, которые облегчают решение логарифмических неравенств.

Пусть $$ f\left( x \right) = f $$, $$ g\left( x \right) = g $$ - функции, $$ a,\;b,\;c $$ - действительные числа.

1. $$ \log _a f \vee 0 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {f - 1} \right) \vee 0$$, ОДЗ: $$ \left\{ \begin{array}{l} f > 0; \\ a > 0,{\rm{ }}a \ne 1. \\ \end{array} \right.$$

2. $$ \log _a f \vee b \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {f - a^b } \right) \vee 0 $$, ОДЗ: $$ \left\{ \begin{array}{l} f > 0; \\ a > 0,{\rm{ }}a \ne 1. \\ \end{array} \right.$$

3. $$ \log _a f \vee \log _a g \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {f - g} \right) \vee 0 $$, ОДЗ: $$ \left\{ \begin{array}{l} f > 0,{\rm{ }}g > 0; \\ a > 0,{\rm{ }}a \ne 1. \\ \end{array} \right. $$

4. $$ \log _a f \vee \log _c f \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {c - 1} \right)\left( {f - 1} \right)\left( {c - a} \right) \vee $$, ОДЗ: $$ \left\{ \begin{array}{l} f > 0; \\ a > 0,{\rm{ }}a \ne 1; \\ c > 0,{\rm{ }}c \ne 1. \\ \end{array} \right. $$

5. $$ \left( {\log _a f + \log _a g} \right) \vee 0 \Leftrightarrow \left( {f \cdot g - 1} \right)\left( {a - 1} \right) \vee 0] $$, ОДЗ: $$ \left\{ \begin{array}{l} f > 0,{\rm{ }}g > 0; \\ a > 0,{\rm{ }}a \ne 1. \\ \end{array} \right. $$

6. $$ \log _a f \cdot \log _c g \vee 0 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {c - 1} \right)\left( {f - 1} \right)\left( {g - 1} \right) \vee 0 $$, ОДЗ: $$ \left\{ \begin{array}{l} f > 0,{\rm{ }}g > 0; \\ a > 0,{\rm{ }}a \ne 1; \\ c > 0,{\rm{ }}c \ne 1. \\ \end{array} \right. $$

Замечание. Если в этих схемах $$ a,\;b,\;c$$ (действительные числа) заменить элементарными функциями, то получаться схемы равносильных преобразований логарифмических неравенств, содержащих в основании неизвестную величину.

2017-08-07 22:03:31