Решение логарифмических неравенств

В школьном курсе алгебре и начала математического анализа в основном рассматриваются логарифмические неравенства вида $$ \log _a f\left( x \right) \vee \log _a g\left( x \right)$$, где $$ a > 0,{\rm{ }}a \ne 1 $$. При решении неравенств такого вида используется непосредственно монотонность логарифмической функции, учитывая область определения этой функции. Наиболее рациональное решение считается решение методом равносильных преобразований. Если в процессе решения смысл неравенства должен измениться, то символ $$ \vee $$ меняется на символ $$ \wedge$$. Например, $$\left( { - x} \right) \vee 0 \Leftrightarrow x \wedge 0$$.

Равносильные преобразования логарифмических неравенств:

1. $$ \left\{ \begin{array}{l} \log _a f\left( x \right) \wedge \log _a g\left( x \right); \\ 0 < a < 1 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \wedge g\left( x \right); \\ f\left( x \right) > 0; \\ g\left( x \right) > 0. \\ \end{array} \right. $$.

2. $$ \left\{ \begin{array}{l} \log _a f\left( x \right) \vee \log _a g\left( x \right); \\ a > 1 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \vee g\left( x \right); \\ f\left( x \right) > 0; \\ g\left( x \right) > 0. \\ \end{array} \right. $$.

Если вместо символа $$\vee$$ поставить конкретный знак сравнения, то равносильные системы логарифмическим неравенствам имеют вид:

1.1 $$\left\{ \begin{array}{l} \log _a f\left( x \right) \ge \log _a g\left( x \right); \\ 0 < a < 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \ge g\left( x \right); \\ f\left( x \right) > 0. \\ \end{array} \right.$$

1.2 $$\left\{ \begin{array}{l} \log _a f\left( x \right) \le \log _a g\left( x \right); \\ 0 < a < 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \ge g\left( x \right); \\ g\left( x \right) > 0. \\ \end{array} \right.$$

2.1 $$\left\{ \begin{array}{l} \log _a f\left( x \right) \ge \log _a g\left( x \right); \\ a > 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \ge g\left( x \right); \\ g\left( x \right) > 0. \\ \end{array} \right.$$

2.2 $$\left\{ \begin{array}{l} \log _a f\left( x \right) \le \log _a g\left( x \right); \\ a > 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \le g\left( x \right); \\ f\left( x \right) > 0. \\ \end{array} \right.$$

Замечание. Во всех равносильных преобразованиях нестрогий знак сравнения можно заменить строгим знаком сравнения.

2017-01-13 22:51:08