Образцы решения заданий по теме "Алгебраические уравнения"

Пример 1. Решите уравнение $$\frac{{x^2 \left( {x - 5} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{3x + 21}} = 0$$

Решение: $$\frac{{x^2 \left( {x - 5} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{3x + 21}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 \left( {x - 5} \right)\left( {x + 7} \right) = 0; \\ 3x + 21 \ne 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 0; \\ x = 5; \\ x \ne - 7 \\ \end{array} \right.$$

Ответ: $$x = 0,\quad x = 5$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • $$ \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0 \\ g(x) \ne 0 \\ \end{array} \right. $$
  • $$ f(x) \cdot g(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = 0 \\ g(x) = 0 \\ \end{array} \right. $$

Пример 2. Решите уравнение $$\left( {6 - x} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 9} \right) = 24x^2 $$. Найти целые корни.

Решение: Для успешного решения такого уравнения надо раскрыть скобки в парах, так чтобы выражения с переменной были похожи: а) Если $$\left( {6 - x} \right)\left( {x - 2} \right) = - x^2 + 8x - 12$$ и $$\left( {x + 3} \right)\left( {x + 9} \right) = x^2 + 12x + 27$$, то выражения с переменной совсем не похожи; б) Если $$\left( {6 - x} \right)\left( {x + 3} \right) = - x^2 + 3x + 18$$ и $$\left( {x - 2} \right)\left( {x + 9} \right) = x^2 + 7x - 18$$, то выражения с переменной можно считать похожими. Тогда $$\left( {6 - x} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 9} \right) = \left( {3x - x^2 + 18} \right)\left( {7x + x^2 - 18} \right) = 24x^2 $$. Так как $$x = 0$$ не является корнем уравнения, то можно разделить на $$x^2 $$, получим $$\left( {3 - x + \frac{{18}}{x}} \right)\left( {7 + x - \frac{{18}}{x}} \right) = 24$$. Введем новую переменную $$y = x - \frac{{18}}{x}$$. Уравнение примет вид $$\left( {3 - y} \right)\left( {7 + y} \right) = 24 \Leftrightarrow y^2 + 4y + 3 = 0 \Rightarrow y_1 = - 1,\quad y_2 = - 3$$. Вернемся к замене $$\left[ \begin{array}{l} x - \frac{{18}}{x} = - 1, \\ x - \frac{{18}}{x} = - 3. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_{1,2} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {73} }}{2} \\ x_1 = - 6,x_2 = 3 \\ \end{array} \right.$$

Ответ: $$x = - 6,\quad x = 3$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Стандартные приемы: раскрытие скобок.
  • Методы решения уравнений: введение новой переменной.
  • Правила преобразования уравнений.
  • Решение квадратного уравнения.

Пример 3. Решите уравнение $$x^2 - 2x + \frac{1}{{x^2 }} - \frac{2}{x} - 1 = 0$$

Решение: Сгруппируем слагаемые $$\left( {x^2 + \frac{1}{{x^2 }}} \right) - 2\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 1 = 0$$ . Введем новую переменную $$y = x + \frac{1}{x}$$, тогда $$x^2 + \frac{1}{{x^2 }} = y^2 - 2$$. Уравнение примет вид $$y^2 - 2y - 3 = 0 \Rightarrow $$ $$y_1 = - 1,\quad y_2 = 3\quad $$. Вернемся к замене $$\left[ \begin{array}{l} x + \frac{1}{x} = 3, \\ x + \frac{1}{x} = - 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_{1,2} = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}, \\ D < 0,\quad x \in \emptyset . \\ \end{array} \right.$$

Ответ: $$x_{1,2} = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Стандартные приемы: группировка слагаемых.
  • Методы решения уравнений: введение новой переменной.
  • Решения квадратного уравнения.
2017-01-14 04:46:08